隨機遊走過程的自相關函式
隨機遊走過程的自相關函式的結果背後的直覺是什麼 $ y_{t}=y_{t-1}+e_{t} $ 趨於 1 作為 $ t\rightarrow 0 $ ? 謝謝你。
通過遞歸替換，您獲得 $ y_t = \sum_{j=0}^t e_{t-j}. $ 因此 $ \forall p \in \mathbb{N} \hspace{.2cm} y_{t-p} = \sum_{j=0}^{t-p} e_{t-p-j}. $
在通常的白雜訊假設下的錯誤 $ i \neq j \Rightarrow E(e_je_i) =0\Rightarrow Cov(y_t, y_{t-p}) = E(\sum_{j=0}^{t-p} e_{t-p-j}^2) = (t-p+1)\sigma_e^2. $
$ Var(y_t) = E(\sum_{j=0}^{t} e_{t}^2) = (t+1)\sigma_e^2 \hspace{.2cm} \wedge Var(y_{t-p}) = E(\sum_{j=0}^{t-p} e_{t-p-j}^2)(t-p+1)\sigma_e^2. $
$ \Rightarrow \rho_t(p) = \frac{(t-p+1)\sigma_e^2}{\sqrt{(t+1)\sigma_e^2}\sqrt{(t-p+1)\sigma_e^2}} = \frac{\sqrt{(t-p+1)}}{\sqrt{(t+1)}}. $
$ \Rightarrow lim_{p\rightarrow 0} \rho_t(p) = 1 \hspace{.2cm} \wedge \Rightarrow lim_{p\rightarrow t} \rho_t(p) = \frac{1}{\sqrt{(t+1)}} $ .
$ \Rightarrow $ 對於固定 $ p $ $ lim_{t\rightarrow \infty} \rho_t(p) = lim_{t\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{(t-p+1)}}{\sqrt{(t+1)}}= 1 $
這是關於隨機遊走的一個很好的討論：https ://machinelearningmastery.com/gentle-introduction-random-walk-times-series-forecasting-python/
希望在閱讀之後，您將能夠看到您的問題可能不是很好提出的，並糾正它，以便我們可以幫助您。例如，自相關函式不執行 $ t $ , 跑完了 $ k $ 在哪裡 $ k $ 索引滯後順序 - 在這種情況下，正如@1muflon1 所說，執行 $ k \rightarrow \infty $ 應該看到相關性下降到零。