Black-Litterman——以何種方式難以估計預期回報？
在關於Black-Litterman 模型的 Wikipedia 文章中，它指出模型背後的動機是“很難對預期收益做出合理的估計”。為什麼預期收益難以估計，而共變異數卻不是？
您的問題更廣泛地涉及現代投資組合理論，並且可以通過單變數時間序列的均值變異數分析來說明。多變數（正常）設置的擴展是微不足道的。下面我以非正式的方式使用術語準確性，與估計量的變異數有關。特別是，當可以減少估計量的變異數時，這意味著可以使估計量更準確。
短篇小說：通過進行更多的觀察（更精細的觀察 - 達到極限），可以減少收益變異數估計量的變異數，而對於預期收益估計量的變異數則不是這樣。從這個意義上說，與收益變異數相比，準確估計預期（平均）收益更加困難。
要了解原因，請考慮收益的時間序列，並假設平均值（每單位時間）， $ \mu $ ，和變異數（每單位時間）， $ \sigma^{2} $ , 在頻率的非重疊時間間隔上是**常數 $ h $ . 這裡， $ h $ 表示每日、每月或每季度等。進一步假設我們的時間序列數據是對長度時間間隔的觀察 $ \Delta $ ， 在哪裡 $ \Delta<<h $ . 然後，定義 $ n=h/\Delta $ ，作為在時間間隔內的回報觀察次數 $ h $ .
為了 $ k^{\text{th}} $ 觀察間隔（長度 $ \Delta $ ) 在一段時間內 $ h $ ，不失一般性，我們可以假設資產的價格過程由下式給出
$$ S_{k+\Delta}=S_{k}\exp{(\mu\Delta+\sigma \sqrt{\Delta} \epsilon_{k})}, $$在哪裡 $ \epsilon_{k} $ 是 iid 正常。對數回報（在一段時間內 $ \Delta $ ) 可以寫成 $$ X_{k}=\mu\Delta+\sigma \sqrt{\Delta} \epsilon_{k}. $$對於均值變異數投資組合理論，我們需要估計 $ \mu $ 和 $ \sigma $ ，因為它們當然是未知的。呼叫這些估計器 $ \hat{\mu} $ 和 $ \hat{\sigma} $ . 要回答您的問題，我們只需要考慮這些估計器的屬性。 第一的
$$ \hat{\mu}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}/h, \quad \mathbb{E}(\hat{\mu})=\mu, \quad \text{Var}(\hat{\mu})=\sigma^{2}/h. $$ 重要的是，變異數 $ \hat{\mu} $ 取決於觀察期的總長度，而不是觀察次數。
現在考慮，（有偏的）估計量 $ \sigma $ :
$$ \hat{\sigma}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}^{2}/h, \quad \mathbb{E}(\hat{\sigma})=\sigma^{2}+\mu^{2}h/n, \quad \text{Var}(\hat{\sigma})=2\sigma^{4}/n+4\mu^{2}h/n^{2}. $$ 偏差可以忽略（詳見參考資料）。
重要的是，估計器的準確性（變異數） $ \sigma $ , $ \text{Var}(\hat{\sigma}) $ ，確實取決於觀察次數， $ n $ - 對於固定 $ h $ .
這樣做的結果是，對於固定 $ h $ ，通過採用更精細（更小）的觀察間隔， $ \Delta $ ，可以提高變異數估計器的準確性（ $ \text{Var}(\hat{\sigma}) $ 可以減少）。預期（平均）回報的估計量的變異數不是這樣， $ \text{Var}(\hat{\mu}) $ ，其準確性只能通過增加觀察週期來提高， $ h $ .
這方面的參考是
- Merton, RC 關於估計市場的預期回報。J.金融。經濟。8, 323–361 (1980)。