計算以選擇為條件的 logit 誤差期望
考慮一個標準的多項式 logit 選擇模型。消費者選擇商品 $ j $ 從選擇集中 $ J $ 通過選擇具有最高實現效用的商品，其中商品的效用 $ j $ 是（誰）給的
$$ u_j = -p_j + \varepsilon_j, $$在哪裡 $ p_j $ 是好東西的代價 $ j $ 和 $ \varepsilon_j $ 是 iid type-I 極值。我有興趣找到期望值的封閉式公式 $ \varepsilon_j $ 有條件的 $ j $ 被選中——也就是說，有條件地，為所有人 $ k\in J \neq j $ , $$ -p_j + \varepsilon_j \geq -p_k + \varepsilon_k. $$有沒有找到這樣的公式？
謝謝！
讓 $ X_j = v_j + e_j $ 和 $ e_j $ 是 IID 類型我極端。定義
$$ \hat X= \max { X_1,…,X_J}, $$
然後讓 $ \hat X_j $ 成為變數 $ X_j $ 條件是最大值。然後不變性表明
$$ \hat X,\hat X_1,…,\hat X_J \sim F^*, $$
都有相同的分佈 $ F^* $ . 因此，他們有相同的期望。它遵循
$$ \mathbb E[v_j + e_j\lvert j = j^*] = \mathbb E[\hat X], $$
在哪裡 $ j^*\in \arg \max_j { X_1,…,X_J} $ . 因此
$$ \mathbb E[\hat X] - v_j = \mathbb E[e_j \lvert j=j^*], $$
在哪裡 $ v_j $ 是已知的，並且有一個解析封閉形式 $ \mathbb E[\hat X] $ 作為標準對數和表達式。
這是R中的模擬顯示不變性的屬性
library(evd) v_1 <- 1 v_2 <- 2 N <- 100000 Z <- matrix(rgumbel(2*N),nrow=2) W <- Z + c(v_1,v_2) index1 <- W[1,]>W[2,] index2 <- W[2,]>W[1,] mean(W[1,index1]) mean(W[2,index2]) 0.5772 + log(sum(exp(c(v_1,v_2))))