用於 AR(1) 過程的 Durbin Watson 測試
$ (1) y_t =\beta y_{t-1} +\epsilon_t $
$ (2) \epsilon_t =\rho \epsilon_{t-1} +v_t $
在哪裡 $ v_t $ 是 iid 白雜訊。我知道 (1) 的 OLS 估計是有偏差的。然後它將遵循以下估計 $ \epsilon_t $ 是有偏的，這應該意味著使用這些殘差估計的 Durbin-Watson 檢驗是有偏的。我一直試圖證明這一點，但一直在努力，而且很可能我犯了代數錯誤。是否有直接的證據證明 Durbin-Watson 測試存在偏見？
我有這個 $ plim \hat{\beta}{OLS}=\beta +\frac{\rho (1-\beta^2)}{1+\beta\rho} $ 這意味著 $ \hat{\epsilon_t}=\epsilon_t-y{t-1}\frac{\rho (1-\beta^2)}{1+\beta\rho} $ 和 $ Cov[y_{t-1},\epsilon_t]=\frac{\rho \sigma^2_\epsilon}{(1-\beta \rho)} $ .
Nerlove 和 Wallis (1966) 結果
Nerlove 和 Wallis (1966)討論了這個問題。他們的等式 (3) 將 Durbin-Watson 統計量的機率極限推導出為： $$ \mathrm{plim}, d^* = 2 \left[ 1 - \frac{\rho \beta (\beta + \rho)}{1+\beta \rho} \right]. $$ （他們的符號為 $ \beta $ 是 $ \alpha $ Nerlove 和 Wallis (1966) 的推導是基於Malinvaud (1961)的，不幸的是，我無法閱讀其精美的作品。
推導
可以推導出 Nerlove 和 Wallis (1966) 的結果。讓我在這裡試試。我們需要 $ y_t $ 是共變異數平穩的，我們只是假設。
讓 $ \gamma_j = E(y_t y_{t-j}) $ . 讓 $ b $ 是機率極限 $ \hat\beta_{ols} $ ，即 $ b=(\beta+\rho)/(1+\beta\rho) $ 根據OP的推導。讓 $ e_t = y_t - b y_{t-1} $ . 然後 $$ \begin{align} E(e_t^2) &= (1+b^2) \gamma_0 - 2b \gamma_1\ E(e_t e_{t-1}) &= \gamma_1 -b\gamma_2 - b\gamma_0 + b^2 \gamma_1 = (1+b^2) \gamma_1 - b(\gamma_0+\gamma_2), \end{align} $$ 和 DW 的機率極限 ( $ d^* $ ） 是 $ 2[1-E(e_te_{t-1})/E(e_t^2)] $ .
我們需要 $ \gamma_0, \gamma_1 $ 和 $ \gamma_2 $ . 為此，請注意 $ \epsilon_t - \rho \epsilon_{t-1} = (y_t - \beta y_{t-1}) - \rho(y_{t-1} - \beta y_{t-2}) = v_t $ ， 那是， $ y_t = (\beta + \rho) y_{t-1} - \beta \rho y_{t-2} + v_t $ . 由於共變異數平穩性，我們有（因為 $ E y_{t-1} v_t = 0 $ 和 $ E y_{t-2} v_t = 0 $ ) $$ \begin{align*} \gamma_1 &= (\beta + \rho) \gamma_0 - \beta\rho \gamma_1,\ \gamma_2 &= (\beta + \rho) \gamma_1 - \beta\rho \gamma_0, \end{align*} $$Yule-Walker方程 。第一個身份意味著 $ \gamma_1/\gamma_0 = (\beta+\rho)/(1+\beta\rho) = b $ ，這是很自然的，因為 $ \hat\beta_{ols} $ 以機率收斂到 $ \gamma_1/\gamma_0 $ . 第二個身份意味著 $ \gamma_2/\gamma_0 = (\beta+\rho) (\gamma_1/\gamma_0) - \beta\rho = (\beta+\rho) b - \beta\rho $ . 因此， $$ \begin{align} \frac{E(e_te_{t-1})}{E(e_t^2)} &= \frac{(1+b^2) \gamma_1 - b(\gamma_0+\gamma_2)}{(1+b^2)\gamma_0 - 2b\gamma_1} = \frac{(1+b^2)b - b[1+(\beta+\rho)b -\beta\rho]}{1+b^2 - 2b^2}\ &= \frac{b^3-(\beta+\rho)b^2+\beta\rho b}{1-b^2} = b \left[ \frac{b^2 - (\beta + \rho) b + \beta\rho}{1-b^2} \right]. \end{align} $$ 插入 $ b = (\beta+\rho)/(1+\beta\rho) $ 證明上面等於 $$ b \left[ \frac{(\beta+\rho)^2 - (\beta+\rho)^2 (1+\beta\rho) + \beta\rho (1+\beta\rho)^2}{(1+\beta\rho)^2 - (\beta+\rho)^2} \right] = b\beta\rho = \frac{\beta\rho(\beta+\rho)}{1+\beta\rho}, $$ 這直接暗示了 Nerlove 和 Wallis (1966) 的結果，因為 $ d^* \to_p 2[1- E(e_te_{t-1})/E(e_t^2)] $ .
杜賓 h 統計量
Durbin (1970)承認了這個問題並提出了所謂的Durbin-h 統計量，其公式在他的方程 (12) 中給出。419 為： $$ h = a\sqrt{\frac{n}{1-n\hat{V}(b_1)}}, \quad a = 1-\tfrac12 d, $$ 零下的漸近標準正態。（另請參閱Wikipedia。）您可以猜到它被稱為 Durbin “h” 統計量的原因。
DW 偏向的含義
Nerlove 和 Wallis (1966) 進一步解釋了為什麼他們推導 DW 的機率極限 $ d^* $ 導致 DW 測試無效。然而，在零假設下 $ \rho=0 $ , 數據 $ d^* $ 以機率收斂到 2（這是“正確的”），因此我們不能簡單地得出 DW 測試始終拒絕正確的空值的結論。我想說，問題在於標準錯誤 $ d^* $ （或估計的序列相關性 $ y_t - \hat\beta_{ols} y_{t-1} $ ）。Durbin (1970) 給出了一個解決方案。
參考
德賓，J. (1970)。當一些回歸變數是滯後因變數時，最小二乘回歸中的序列相關性檢驗，計量經濟學38（3），410-421。
馬林沃，E. (1961)。自回歸經濟模型中的估計和預測，國際統計研究所評論，29(2)，1-32。
Nerlove, M. 和 KF Wallis (1966)。在不適當的情況下使用 Durbin-Watson 統計，計量經濟學34(1), 235-238。