估計 CES 效用（非生產）功能參數
CES 效用函式的形式為 $$ \begin{equation} u(x_1,\dots,x_n)=\left[\sum_{i=1}^n\alpha_ix_i^\rho\right]^{1/\rho}, \end{equation} $$ 在哪裡 $ \alpha_i $ 是消費份額參數和 $ \sigma=\frac{1}{1-\rho} $ 是替代彈性。
我有興趣估計 $ \alpha_i $ ‘沙 $ \sigma $ . 由於我們不直接觀察效用水平，我認為我們可以改為使用數據來估計效用函式所隱含的馬歇爾需求函式： $$ \begin{equation} x_i(p_1,\dots,p_n,M)=\frac{M(\alpha_i/p_i)^\sigma}{\sum_{j=1}^n\alpha_j^\sigma p_j^{1-\sigma}},\quad i=1,\dots,n. \end{equation} $$ 顯然，該函式在感興趣的參數中是高度非線性的。因此需要非線性估計程序。
假設我們有數據消耗 $ x_i $ ， 價格 $ p_i $ 和收入 $ M $ . 我們如何去估計參數 $ \alpha_i $ ‘沙 $ \sigma $ ?
我可以找到很多關於估計 CES生產函式的論文，但我覺得它們沒有幫助，因為我沒有觀察因變數（ $ u $ ）。鑑於 CES 實用程序是文獻中使用的常見函式形式，我懷疑它的估計必須在文獻中的某個地方。
我設法在 Stata 中找到了非線性最小二乘估計，但我不知道這樣的程序對錯誤指定的敏感程度以及人們應該對程序產生的統計數據（例如 t-stat 或 p 值）有多大的信心.
任何指向有關該主題的論文/教科書章節的指針，以及實現估計程序的統計包都將不勝感激。
利用 CES 效用函式的類比可分性可能會很有趣 $ x $ . 這意味著 $$ \frac{x_i}{x_j} = \left( \frac{\alpha_i}{\alpha_j}\frac{p_j}{p_i} \right)^\sigma $$ 之後 $ log $ -轉型： $$ \ln(x_i) - \ln(x_j) = \beta_{ij} + \sigma (\ln(p_j) - \ln(p_i)). $$
添加隨機項後，該規範可用於估計 $ \beta_{ij} \equiv \sigma (\ln(\alpha_i)-\ln(\alpha_j)) $ 和 $ \sigma $ OLS 的參數，並在第二步中確定 $ \alpha_i $ 通過最小距離：
$$ \widehat{\alpha} = \arg \min_\alpha \Big(\widehat{\beta}-\widehat{\sigma}(\ln(\alpha)-\ln(P\alpha)) \Big)’\Omega^{-1} \Big( \widehat{\beta}-\widehat{\sigma}(\ln(\alpha)-\ln(P\alpha)) \Big), $$ 在哪裡 $ P $ 表示適當的置換矩陣。
一些估計 CES 偏好參數參數的參考文獻包括 Diewert 和 Feenstra（2017 年）或 Redding 和 Weinstein（2020 年），但是基於單位支出函式，採用了不同的方法。
大多數實證貢獻拒絕了類比效用函式（如 CES）的有效性。關於如何建構可以輕鬆擴展到效用函式的非同位 CES 生產函式，有一些建議，請參見 Shimomura (1999) 和其中的參考文獻。上述規範的一個簡單擴展是：
$$ \ln(x_i) - \ln(x_j) = \beta_{ij} + \sigma (\ln(p_j) - \ln(p_i)) + \gamma_{ij} M/p + \varepsilon, $$ 在哪裡 $ p $ 表示特定於消費者和時間的總價格指數（針對所有商品）。符號 $ ij $ 代表商品 $ i $ 和 $ j $ 而不是為了觀察（我跳過了 $ n,t $ 為了清楚起見，下標）。
這種關係與非同類偏好兼容。獲得了類比情況 $ \gamma_{ij}=0 $ 可以測試。
關於電腦軟體……幾年前我完全切換到R，它會“輕鬆”允許編碼最小距離估計器，以及實用程序和需求函式之間的連結。
參考：
Diewert、Erwin 和 Robert Feenstra（2017 年），“估計新產品和消失產品的收益和成本”，mimeo，加州大學戴維斯分校。
Redding Stephen J 和 David E Weinstein (2020)，“用味覺衝擊測量綜合價格指數：CES 偏好的理論和證據”，經濟學季刊，135, 503-560。
Shimomura, K.，1999，“關於非同位 CES 函式的佐藤命題的簡單證明”，經濟理論，14, 501–503。