引入 IV 儀器時的估計參數
說，你有一個模型 $$ y_{it} = \beta_1 a_{it} + \beta_2 b_{it} $$ 你會發現 $ a_{it} $ 是內生的，因此，您需要為它找到一種工具。
假設你找到了一種樂器 $ z_{it} = \Delta y_{it-1} $ 這是相關的和外生的，
你能估計 $ \beta_1 $ 和 $ \beta_2 $ 通過估計
$$ \Delta y_{it} = \beta_1 \Delta y_{it-1} + \beta_2 \Delta b_{it} $$
如果是這樣，這將如何完成？我遇到了一個問題，其中的矩陣 $ \Delta y_{it-1} $ 行數少於 $ \Delta b_{it} $ .
你會重塑 $ \Delta b_{it} $ ? 這是允許的嗎？
允許使用滯後。事實上，使用滯後作為工具實際上在宏觀經濟學等某些領域非常普遍（參見 Romer Advanced Macroeconomics pp 376）。
但是，請注意：
$$ \Delta y_{it} = \beta_1 \Delta y_{it-1} + \beta_2 \Delta b_{it} +\epsilon_{it} $$
是 IV 的簡化形式，因此它將為您提供以下估計： $ \beta_1 \pi $ , 而不僅僅是 $ \beta_1 $ 但你正在擺脫內生性。如果你想得到公正 $ \beta_1 $ 你可以執行 2SLS。
這是因為您基本上是在替換 $ a_{it} = \pi_0 + \pi y_{it-1} +e_{it} $ 所以：
$$ \Delta y_{it} = \beta_1 \pi_0 + \beta_1 \pi y_{it-1} + \beta_2 \Delta b_{it} + \beta_1 e_{it} +\epsilon_{it} $$
使用通用包/程序執行此操作不應出錯。
如果您嘗試自己用 R 之類的方式編寫 IV 估計器，您可能會收到錯誤，因為當您創建包含 $ \Delta y_{t-1} $ 它不會匹配的矩陣 $ \Delta y_t $ 因為沒有辦法擁有 $ \Delta y_{t-1} $ 對於第一行。一個簡單的解決方案就是在創建後排除數據矩陣的第一行 $ \Delta y_{t-1} $ 回歸變數（或者您甚至可以完全刪除它，但我認為數據對於某些匯總統計/視覺化仍然有用）。