效用函式內的期望值

假設代理 1 具有依賴於其他人的效用函式，即 $ u_1(x_1-x_2) $ ， 在哪裡 $ x_i $ 是代理的選擇 $ i $ . 假設期望值為 $ x_2 $ 表示 $ E[x_2] $ .

能 $ u_1(x_1-E[x_2]) $ 被定義為代理人 1 從選擇一些 $ x_1 $ ?

不， $ u_1(x_1-E[x_2]) $ 是代理 $ 1 $ 期望值的效用，而不是期望值的效用。

一般來說 $ u(E(x)) \neq E(u(x)) $ . 一個簡單的例子：

讓 $ x $ 取值 $ -1 $ 有機率 $ 50% $ 和價值 $ 1 $ 有機率 $ 50% $ . 讓 $ u(x) = x^2 $ . 然後 $$ E(x) = 50% \cdot (-1) + 50% \cdot 1 = 0 $$ $$ u(E(x)) = 0^2 = 0 $$ $$ E(u(x)) = 50% \cdot (-1)^2 + 50% \cdot 1 = 1 $$

有特殊情況 $ u(E(x)) = E(u(x)) $ 確實成立，例如，當 $ u $ 是仿射函式。等式永遠不成立 $ u $ 是嚴格凸的，參見Jensen 的不等式。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/52487