計量經濟學
找到一致但低效的 GMM 估計
考慮以下線性模型
$$ y_t = x_t’ \beta +u_t $$
在哪裡 $ t =1,…,T $ 和 $ x_t = (x_{1t} x_{2t} … x_{kt})’ $ , $ \beta $ 是 $ k \times 1 $ 未知係數的向量， $ u_t $ 是具有變異數的獨立同分佈干擾項 $ \sigma^2 $ 和 $ E(x_tu_t)=0 $ 對於所有 t。
找到一致但低效的 GMM 估計量。
我的解決方案：
我知道 $ E(x_tu_t)= \frac{1}{T} \sum^T_{t=1} [x_t(y_t-x_t’\beta)]=0 $
定義雅可比矩陣
$$ J(B)= g(B)’ W g(B) $$
在哪裡 $ g(B)=\frac{1}{T} \sum^T_{t=1} [x_t(y_t-x_t’\beta)] $ 和 $ W=I_k $
在這裡，我將 W 定義為單位矩陣，因為效率取決於 W 矩陣，並且當 W=I 時，我猜這個估計器變得低效。（可能是錯的，具體不太清楚）
然後，Jacobean 矩陣 $ J(B) $ 在矩陣形式中寫為
$$ J(B)=[\frac{1}{T} X’(y-X\beta]’ I_k [\frac{1}{T} X’(y-X\beta] $$
讓我們最小化 J(B) wrt $ \beta $
那是， $ \partial J(B) / \partial \beta =0 $
然後，$$ \hat{\beta} = (X’XX’X)^{-1} X’XX’y $$
這個結果對我來說似乎很奇怪。
你如何解決這個問題？我哪裡錯了？請與我分享你的想法。
- 我並不是要挑剔，但以防萬一，不存在一致但效率低下的估算器。也許你的意思是一個一致但低效的估計器？
- 您的估算器是 OLS 估算器。看 $ X’X $ 取消。
- 如果你只使用矩條件 $ E(x_t u_t)=0 $ ，則 OLS 是唯一可以遵循的 GMM（或實際上是 MM）估計量。由於時刻條件正在準確辨識，因此沒有其他 GMM 估計量。如果誤差項為高斯（在這種情況下 OLS = MLE），則 OLS 估計器是有效的。否則，OLS 估計器效率低下。
- 如果允許您將時刻條件更改為類似 $ E(A_t x_t u_t)=0 $ 對於一些非隨機和非奇異的 $ A_t $ ，那麼您可以通過選擇其他估算器 $ A_t $ 以一種低效的方式。（權重錯誤的 WLS 就是一個例子： $ A_t = tI $ .) 但我們通常認為 $ E(A_t x_t u_t)=0 $ 作為不同的時刻條件 $ E(x_t u_t)=0 $ 雖然一個暗示另一個，反之亦然。
- 這真的是一個定義問題。你說的低效是什麼意思？這是否意味著漸近無效率？請注意，OLS 估計器效率低下，除非誤差分佈是高斯分佈，儘管它是藍色的。另外，您可以使用隱含的矩條件嗎 $ E(x_t u_t)=0 $ ， 不只是 $ E(x_t u_t)=0 $ . 需要澄清。
也許它只是 OLS 估計器，它在給定條件下（即沒有正態性）效率低下。然而，OLS 估計量是漸近有效的。