自回歸時間序列的觀測值總和的無條件變異數公式
我有筆記說我們可以進行以下計算。我對正在進行的一些計算感到有些困惑。我需要什麼假設才能得到以下結果？還是有錯誤？具體來說，我對下面的等式（1）感到困惑。特別是，這對我來說很奇怪，因為如果我讓 $ \rho = -1 $ , 那麼等式 (1) 有時會給出負變異數。（也許計算未定義時 $ \rho = -1 $ ?)
讓 $ r_{t,t+n} = \sum_{i=1}^n r_{t+i} $ . 假設 $ r_t $ 是一個 AR(1) 過程（例如，誤差由均值零正態分佈和變異數給出 $ \sigma^2 $ ） 在哪裡
$$ \text{Cov}(r_t,r_{t+j}) = \rho^j \sigma^2 $$ 因此 $$ \text{Corr}(r_t, r_{t+j}) = \rho^j. $$ 我的筆記說 $ \text{Var}(r_{t,t+2}) = 2(1 + \rho) \sigma^2 $ 然後
$$ \text{Var}(r_{t,t+n}) = \left( n + 2 \sum_{i=1}^{n-1} \rho^i (n-i) \right) \sigma^2. \tag{1} $$ （FWIW，這個問題涉及累積（對數）回報。）
行。我犯了一些小的計算錯誤並在這裡感到困惑。這些註釋在以下符號假設下是有意義的。如果我如下寫出 AR(1) 過程（忽略漂移）
$$ r_{t+1} = r_t + \epsilon_{t+1}, $$ 那麼我們有 $ \text{Cov}(r_t, r_{t+j}) = \frac{\rho^j}{1 - \rho^2} \sigma_\epsilon^2 $ ， 在哪裡 $ \sigma^2_\epsilon := Var(\epsilon) $ . 我應該在筆記中抓住的一點正是變異數是無條件的，所以 $ \text{Var}(r_t) = \sigma^2 = \frac{1}{1 - \rho^2} \sigma_\epsilon^2 $ 是無條件變異數（時間序列只有在 $ |\rho| < 1 $ , 所以使用時要小心 $ \rho = -1 $ 正如剛才提到的）。鑑於此定義，一切正常。首先，請注意 $$ \text{Cov}(r_t, r_{t+j}) = \frac{\rho^j}{1 - \rho^2} \sigma_\epsilon^2 = \rho^j \sigma^2, $$ 如上所述。然後還要注意 $$ \begin{align} \text{Var}(r_{t,t+n}) &= \text{Var}\left (\sum_{i=1}^n r_{t+i} \right) \ &= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \text{Cov}(r_{t+1}, r_{t+j}) \ &= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \rho^{|i - j|} \sigma^2 \ &= \left (n + 2 \sum_{i=1}^{n-1} \rho^j (n - i) \right) \sigma^2. \end{align} $$ 所以，一切順利。
對於 AR(1) 過程（我省略了任何漂移），滯後係數是一階相關係數，
$$ r_{t+1} = \rho r_t + u_{t+1} $$ 所以
$$ r_{t,t+2} = \sum_{i=1}^2 r_{t+i} = r_{t+1} + r_{t+2} = \rho r_t + u_{t+1} + \rho r_{t+1} + u_{t+2} $$ $$ =\rho r_t + u_{t+1} + \rho \big(\rho r_t + u_{t+1}\big) + u_{t+2} = \rho(1+\rho)r_t+(1+\rho)u_{t+1} + u_{t+2} $$ 現在這三個組件是獨立的。所以
$$ {\rm Var}(r_{t,t+2}) = \rho^2(1+\rho)^2\frac {\sigma^2}{1-\rho^2}+ (1+\rho)^2\sigma^2 +\sigma^2 $$ $$ =\left( (1+\rho)^2\frac {\rho^2+1-\rho^2}{1-\rho^2}+1\right)\cdot \sigma^2 $$ $$ =\left( \frac {1+\rho}{1-\rho}+1\right)\cdot \sigma^2 = \frac {2}{1-\rho}\sigma^2 $$ 所以我們得出了一個不同的公式 $ {\rm Var}(r_{t,t+2}) $ ，與這些註釋中提供的相比，我們還將得出一個不同的一般表達方式 $ n $ .
請注意，我的結果適用於 $ \rho =-1 $ , 給 $ {\rm Var}(r_{t,t+2}) = \sigma^2 $ 在這種情況下，因為這裡
$$ r_{t+1} = - r_t + u_{t+1} $$ 所以
$$ r_{t+1} + r_{t+2} = - r_t + u_{t+1}- r_{t+1} + u_{t+2} = - r_t + u_{t+1} - \big(- r_t + u_{t+1}\big) + u_{t+2} = u_{t+2} $$