如何建構馬爾可夫模型的評分過程並驗證它是鞅？
以下是一個特定的問題，可用於展示一般想法。
考慮以下自回歸模型：
$$ X_{t+1} = \alpha_0 + \beta_0 (X_t - \alpha_0) + W_{t+1}, $$ 在哪裡 $ -1 < \beta_0 < 1 $ 和 $ W_{t+1} $ 分佈為均值為 0 變異數為 1 的正態分佈。 我應該如何建構與參數相關的雙變數評分過程 $ \alpha_0 $ 和 $ \beta_0 $ ? 如何驗證它是鞅？
進步：
我將首先按如下方式建構對數概似過程（以 $ X_0 $ ):
$$ \ell_t(\theta \mid \textbf X) = -\frac t2 \ln(2 \pi) - \frac 12 \sum_{j=1}^t (X_j - \alpha_0 - \beta_0(X_{j-1} - \alpha_0))^2. $$ 然後，評分過程可以構造為 $$ s_t(\theta \mid \textbf X) = \begin{bmatrix} (1 - \beta_0) \sum_{j=1}^t (X_j - \alpha_0 - \beta_0(X_{j-1} - \alpha_0)) \ \sum_{j=1}^t (X_j - \alpha_0 - \beta_0(X_{j-1} - \alpha_0)) (X_{j-1} - \alpha_0) \end{bmatrix}. $$ 它是否正確？我該如何進行？
分數過程的推導是正確的。要驗證該過程是否為 Martingale，請回憶定義。很明顯，如果我們替換 $ W_{t+1} $ 回到方程
$$ s_t(\theta \mid \textbf X) = \begin{bmatrix} (1 - \beta_0) \sum_{j=1}^t W_j \ \sum_{j=1}^t W_j (X_{j-1} - \alpha_0) \end{bmatrix}. $$ 因為 $ W_{t+1} $ 是正常的，均值為 0，變異數為 1（我假設它們是獨立同分佈的），然後 $$ E[s_{t+1} \mid s_t ] = s_t + E \left [ \begin{matrix} (1 - \beta_0) W_{t+1} \ W_{t+1} (X_t - \alpha_0) \end{matrix} \middle | s_t \right ] = s_t $$ 我們完成了。