變異數中的解釋變數如何影響 GARCH(1,1) 的無條件變異數
我有一個關於 GARCH 過程的無條件變異數的問題，其中外生解釋變數包含在變異數中。
通常的 GARCH 使用以下方法對變異數建模：$$ \sigma^2_t=\omega+\alpha\cdot\epsilon_{t-1}^2+\beta\cdot\sigma_{t-1}^2 $$
通常的 GARCH無條件變異數，沒有額外的解釋變數，由下式給出：
$$ \sigma^2_=\frac{\omega}{1-\alpha-\beta} $$
我的問題是，如果我們包含一個解釋變數 $ x_t $ 在變異數方程中，這如何改變無條件變異數？
如果模型是：
$$ \sigma^2=\omega+\alpha\cdot\epsilon_{t-1}^2+\beta\cdot\sigma_{t-1}^2+\phi\cdot x_{t-1} $$
我的猜測是有一天 $ t $ ，無條件變異數會隨著前幾天的值而變化 $ x_t $ ，所以像：
$$ \sigma^2_t=\frac{\omega+\phi\cdot E[x_{t-1}|I_{t-1}]}{1-\alpha-\beta} $$
希望有道理！
您的最後一個表達式不正確，因為如評論中所述，您追求的是無條件變異數，這在這些模型中是恆定的。它應該是
$$ \sigma^2=\frac{\omega+\phi\cdot E(x)}{1-\alpha-\beta} $$
PS：另外，你缺少一個 $ t $ -倒數第二個表達式中的下標。
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回複評論
使用更明確的符號，我們假設條件變異數是
$$ {\rm Var}(u_t \mid I_{t-1}) = \omega+\alpha\cdot u_{t-1}^2+\beta\cdot {\rm Var}(u_{t-1} \mid I_{t-2})+\phi\cdot x_{t-1} $$
將期望貫穿始終
$$ E\big[{\rm Var}(u_t \mid I_{t-1})\big] = \omega+\alpha\cdot E(u_{t-1}^2)+\beta\cdot E\big[{\rm Var}(u_{t-1} \mid I_{t-2})\big]+\phi\cdot E(x_{t-1}) \tag{1} $$
現在，根據全變異數定律，
$$ {\rm Var}(u_t) = E\big[{\rm Var}(u_t \mid I_{t-1})\big] + {\rm{Var}}\big[E(u_t \mid I_{t-1})\big] $$
在假設下 $ E(u_t \mid I_{t-1}) = 0 \implies E(u_t) = 0 $ ，我們得到關係
$$ {\rm Var}(u_t) = E\big[{\rm Var}(u_t \mid I_{t-1})\big] \tag{2} $$
並且落後一次，
$$ {\rm Var}(u_{t-1}) = E\big[{\rm Var}(u_{t-1} \mid I_{t-2})\big] \tag{3} $$
另一個假設是 $ u $ 是無條件同變異數的。這與 $ E(u_t)=0 $ 方法
$$ {\rm Var}(u_t) = {\rm Var}(u_{t-1}) = E(u^2) \tag{4} $$
最後，另一個假設是 $ x $ 的在時間上是相同分佈的，所以 $ E(x_{t-1}) = E(x) $ .
將所有這些用於 $ (1) $ 我們得到
$$ {\rm Var}(u) = \omega+\alpha\cdot {\rm Var}(u)+\beta\cdot {\rm Var}(u)+\phi\cdot E(x) $$
$$ \implies {\rm Var}(u) =\frac{\omega+\phi\cdot E(x)}{1-\alpha-\beta} $$