具有滯後因變數的回歸中係數的解釋
我使用 GMM 估計了以下動態面板數據模型：
$ \ln Y_{it}=\beta_0+\beta_1\ln Y_{it-1}+\beta_2\ln X_{it-1}+\epsilon_{it} $
在哪裡[YMath Processing Error]是就業和[XMath Processing Error]是生產力。 $ Y $ $ X $
假設估計係數 $ \ln X_{it-1} $ 是[β2^=0.3Math Processing Error]. 如果我理解正確，由於模型的動態結構，可以認為因變數是增長率[YMath Processing Error]. 因此，以下對估計係數的解釋是否正確：任何 $ \hat{\beta_2}=0.3 $ $ Y $ $ 1% $ 預計生產率的提高將使就業增長率提高[0.3Math Processing Error]個百分點？ $ 0.3 $
如果不是，正確的解釋是什麼？
如果[E[εi,t|Xi,t−1,Yi,t−1]=0Math Processing Error]那麼係數 $ \mathbb{E}[\varepsilon{i,t}|X_{i,t-1}, Y_{i,t-1}] = 0 $ $ \beta_2 $ 等於：
$$ \frac{\partial \mathbb{E}[\ln Y_{i,t}|X_{i,t-1}= x_{i,t-1}, Y_{i,t-1} = y_{i,t-1}]}{\partial \ln x_{i,t-1}} $$ 如果[εi,tMath Processing Error]獨立於[Xi,t−1Math Processing Error]和[Yi,t−1Math Processing Error]（這是一個更強的條件）那麼它也等於： $ \varepsilon_{i,t} $ $ X_{i,t-1} $ $ Y_{i,t-1} $ [Math Processing Error]$$ \frac{\partial \ln \mathbb{E}[Y_{i,t}|X_{i,t-1}= x_{i,t-1}, Y_{i,t-1} = y_{i,t-1}]}{\partial \ln x_{i,t-1}} $$ 在這兩種情況下，他們都給出了昨天（以昨天的就業為條件）就業相對於生產力的彈性的估計，即由於生產力（昨天）增加 1 個百分點，就業（今天）的（預期）百分點變化是多少) 鑑於昨天的就業水平。 估計彈性
如果
$$ \ln y = \alpha + \beta \ln x, $$ 然後 $ x $ - 彈性 $ y $ 是（誰）給的： $$ \frac{\partial \ln y}{\partial \ln x} = \beta. $$ 它測量百分比變化[yMath Processing Error]由於增加了 1%[xMath Processing Error]. $ y $ $ x $ 現在讓我們進入隨機框架：
$$ \ln Y = \alpha + \beta \ln X + \varepsilon $$ 並假設，像往常一樣，[E[ε]=0Math Processing Error]. $ \mathbb{E}[\varepsilon] = 0 $ 的彈性[YMath Processing Error]就OT而言[XMath Processing Error]並沒有真正定義為[YMath Processing Error]不是的函式 $ Y $ $ X $ $ Y $ $ X $ （即兩者都是隨機變數）。
在這種情況下，彈性有兩種自然的概括：
- [Math Processing Error] $ \dfrac{\partial \ln \mathbb{E}[Y|X = x]}{\partial \ln x} $ ，這是條件均值函式的彈性[E[Y|X=x]Math Processing Error]. $ \mathbb{E}[Y|X = x] $
- $ \dfrac{\partial \mathbb{E}[\ln Y|X = x]}{\partial \ln x} $ ，這是條件均值函式的導數 $ \mathbb{E}[\ln Y|X = x] $ .
因為對數是非線性變換，所以兩者不一定相同。
然而，如果 $ X $ 和 $ \varepsilon $ 是獨立的，那麼它們是相同的並且等於 $ \beta $ . 要看到這一點，請注意 1。
$$ Y = e^\alpha X^\beta e^\varepsilon $$ 然後採取條件期望並使用之間的獨立性[εMath Processing Error]和[XMath Processing Error]: $ \varepsilon $ $ X $ [Math Processing Error]$$ \mathbb{E}[Y|X = x] = e^\alpha x^\beta \mathbb{E}[e^\varepsilon|X = x] = e^\alpha X^\beta \mathbb{E}[e^\varepsilon],\ \to \ln \mathbb{E}[Y|X = x] = \alpha + \beta \ln x + \ln \mathbb{E}[e^\varepsilon]. $$ 取關於的偏導數 $ \ln(x) $ 給出： [數學處理錯誤]$$ \frac{\partial \ln \mathbb{E}[Y|X = x]}{\partial \ln x} = \beta. $$ 對於 2. 我們立即有：
[ Math Processing Error ]$$ \mathbb{E}[\ln Y|X = x] = \alpha + \beta \ln x + \mathbb{E}[\varepsilon|X = x] = \alpha + \beta \ln x. $$ 所以： [數學處理錯誤]$$ \frac{\partial E[\ln Y|X = x]}{\partial \ln x} = \beta. $$ 要是[E[ε|X]=0Math Processing Error]但[XMath Processing Error]和[εMath Processing Error]不是獨立的，那麼只有 2 的推導是有效的，並且 1 和 2 不一定相等。 $ \mathbb{E}[\varepsilon|X] = 0 $ $ X $ $ \varepsilon $
如果要估計增長率的彈性，那麼正確的回歸確實是：
$$ \ln(Y_{i,t}/Y_{i,t-1}) = \beta_0 + \beta_1 \ln X_{i,t} + \varepsilon_{i,t}. $$