IV回歸：日誌的第一階段，級別的第二階段？
我有一個來自理論的水平回歸。
我想對其中一個變數進行檢測，但我發現的最佳工具在水平上與內生變數的相關性較弱，在對數上的相關性很強。兩者都是非常異變異數的。
是否有可能以某種方式檢測日誌中的第一階段和級別中的第二階段？
您所描述的是所謂的“禁止回歸”，它（通常）沒有給出一致的估計。這是本威廉姆斯筆記的摘要
考慮一個（非線性）第一階段回歸 $ X $ 在樂器上 $ Z $ 給出擬合值（例如使用對數規範）： $$ \hat X = \hat \mu(Z) $$ 考慮結構（因果）方程： $$ Y = X’\beta + u $$ 你建議的是使用 $ \hat X : \hat \mu(Z) $ 代替 $ X $ 在第二階段。這給出了： $$ \begin{align*} \hat \beta &= (\hat X’ \hat X)^{-1} \hat X Y,\ &= (\hat X’ \hat X)^{-1} \hat X (X’ \beta + u),\ &= (\hat X’ \hat X)^{-1} \hat X (\hat X’ \beta) + (\hat X’ \hat X)’ \hat X’(X - \hat X)’\beta + (\hat X’ \hat X)^{-1}\hat X u,\ &= \beta + \underbrace{(\hat X’ \hat X)’ \hat X’(X - \hat X)’\beta}_A + \underbrace{(\hat X’ \hat X)^{-1}\hat X u}_B, \end{align*} $$ 如果 $ Z $ 是一個有效的工具，可以預期 $ B $ 消失為 $ \hat X = \hat \mu(Z) $ 並通過假設 $ \mathbb{E}(u|Z) = 0 $ .
現在 $ A $ 條款是真正的問題。請注意，我們總是可以寫： $$ X = \mathbb{E}(X|Z) + \eta,\ \text{ with } \mathbb{E}(\eta|Z) = 0 $$ （這裡 $ \eta $ 簡直就是 $ X - \mathbb{E}(X|Z) $ ).
然後取中間部分 $ A $ 術語給出： $$ \hat X’(X - \hat X) = \hat X’(\mathbb{E}(X|Z) - \hat X) + \hat X’\eta,\ $$ 最後一項應該消失為 $ \mathbb{E}(\eta|Z) = 0 $ . 然而，第一項（通常）只有在以下情況下才會消失 $ \hat X = \hat \mu(Z) $ 是一致的 $ \mathbb{E}(X|Z) $ , 如果 $ \mu(Z) $ 是正確的規範 $ \mathbb{E}(X|Z) $ .
然而，通常的 2SLS 在這種情況下是一致的： $$ \hat X = Z(Z’Z)^{-1}Z’X. $$ 然後： $$ \begin{align*} \hat X’(X - \hat X) &= X’Z(Z’Z)^{-1}Z’(X - Z(Z’Z)^{-1}Z’X),\ &= X’Z(Z’Z)^{-1}Z’X - X’Z(Z’Z)^{-1}Z’Z(Z’Z)^{-1}Z’X,\ &= X’Z(Z’Z)^{-1}Z’X - X’Z(Z’Z)^{-1}Z’X = 0 \end{align*} $$ 所以要麼你做正常的 2SLS，這將是一致的，如果 $ Z $ 與 $ u $ 或者您可以使用所謂的間接最小二乘法。
- 回歸 $ X $ 在 $ Z $ 使用非線性回歸（例如對數線性回歸）。
- 使用擬合值 $ \hat X = \hat \mu(Z) $ 作為儀器本身在 2SLS $ Y $ 在 $ X $ . 所以用儀器執行 2SLS $ \hat X = \hat \mu(Z) $ 代替 $ Z $ . 作為 $ \mu(Z) $ 是一個函式 $ Z $ , 我們也有 $ \mathbb{E}(u|\mu(Z)) = 0 $ ，所以這些應該是有效的工具。