計量經濟學中的克羅內克積
我想知道是否有人可以解釋在計量經濟學中使用克羅內克產品的動機。
我知道如果我們有兩個矩陣 A + B，那麼 Kronecker 將從 A 中獲取每個元素並將其乘以矩陣 B（包括其所有元素）。
但是，如果有人可以幫助我確定這樣做有意義的實例，我將不勝感激。以及這樣做的動機。
將不勝感激。
您通常在多變數模型中使用 Kronecker 積以更緊湊的形式編寫方程組，並利用方程之間的對稱性（如果有）來簡化對感興趣參數的估計量的推導。
例如，在 VAR 模型中，您有：
$ y_t = \Pi_0 + \Pi_1y_{t-1} + \ldots + \Pi_py_{t-p} + u_t $
在哪裡 $ y_t $ 和 $ \epsilon_t $ 是 $ n \times 1 $ 向量和 $ u_t \sim \mathcal{N}(0,\Sigma) $ . 您可以將系統以緊湊的形式編寫為：
$ Y = X\Pi + U $
在哪裡 $ Y $ 和 $ U $ 是 $ T \times n $ 矩陣， $ \Pi $ 是 $ (np+1) \times n $ 和 $ X $ 是 $ T \times (np+1) $ .
如果你對系統進行矢量化，你會得到：
$ vec(Y) = (I_n \otimes X) vec(\Pi) + vec(U) $
這基本上是一個單變數線性回歸模型，其中 $ vec(U) \sim \mathcal{N}(0,\Sigma \otimes I_T) $ .
您可以利用此表達式編寫系統導出 OLS (GLS) 估計器的可能性 $ vec(\Pi) $ , 將可能性與先驗結合起來 $ vec(\Pi) $ 與 Kronecker 結構有變異數以獲得後驗分佈，該分佈保留 Kronecker 結構的變異數等……
只要 Kronecker 產品的應用程序簡化了符號並使正在發生的事情變得更清晰，那麼使用 Kronecker 產品就很有意義。（對不起，重言式，但你的問題也暗示了這一點。）
每當需要將矩陣結構複製為更大矩陣的子結構時，它尤其有用，例如在分區中（如 Br.M 的評論中所述）。
最簡單的例子之一可能是 $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 和 $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
一個應用範例來自堆疊一個 VAR
$$ y_t = A_1 y_{t-1} + \cdots + A_p y_{t-p} + u_t $$
作為 $$ Y = AZ + U $$ 在哪裡 $ Y=[y_1, \cdots, y_T] $ , $ U=[u_1, \cdots, u_T] $ , $ Z = [Z_0, \cdots, Z_{T-1}] $ ， 和 $$ Z_{t-1} = \begin{bmatrix} y_{t-1} \ \vdots \ y_{t-p}\end{bmatrix} $$
係數矩陣 A 水平堆疊： $ A = [A_1:\cdots :A_p] $ .
OLS 估計量是 $$ \hat{A} = YZ’(ZZ’)^{-1} $$ 並分發為 $$ \textrm{vec}(\hat{A}) \approx N(\textrm{vec}(A), (ZZ’)^{-1}\otimes \Sigma_u) $$ 在哪裡 $ \Sigma_u $ 是變異數-共變異數矩陣 $ u $ . 注意克羅內克積的使用如何簡化符號並清楚地說明共變異數矩陣的確切方式 $ \Sigma_u $ 發揮作用。