測量誤差 - 多變數情況
我有一個線性回歸模型,通常假設成立; $ E[xu] = 0 $ 和排名條件。
$ y_i = \alpha_0 + \alpha_1x_{1i} + \alpha_2x_{2i} + u_i $
我觀察 $ \bar{x}_{2i} $ , 在哪裡:
$ \bar{x}{2i} = x{2i} + e_i $
我估計的模型是:
$ y_i = \tilde{\alpha_o} + \tilde{\alpha_1}x_{1i} + \tilde{\alpha_2}x_{2i} + \tilde{u_i} $
我想得出 plim $ \tilde{\alpha_1} $ 和 $ \tilde{\alpha_2} $
我的做法:
我代替了我的觀察,並評估了以下內容:
普利姆 $ \tilde{\alpha_2} = \frac{cov(\bar{x}{2i}, y)}{var(\bar{x}{2i})} = \frac{\alpha_{2}*var(x_{2i})}{var(x_{2i} + e_i)} = \frac{\alpha_{2}*var(x_{2i})}{var(x_{2i}) + var(e_i)} $
普利姆 $ \tilde{\alpha_1} = \frac{cov({x}{1i}, y)}{var({x}{1i})} = \frac{\alpha_{1}*var(x_{1i})}{var(x_{1i})} = \alpha_1 $
這個對嗎?我有點擔心 $ \tilde{\alpha_1} $ ,因為這不應該有偏見嗎?
要得出這一點,您需要使用 Frisch-Waugh-Lovell 定理。
使用真實變數, $ x_2 $ , 讓 $ \widetilde{x_2} $ 是回歸的殘差 $ x_2 $ 上 $ x_1 $ ,
$$ x_2 = \delta_0 +\delta_1 x_1 +\widetilde{x_2} $$ 因此,我們有,
$$ \bar{x_2} = \delta_0 +\delta_1 x_1 +e +\widetilde{x_2} $$
回歸的殘差 $ \bar{x_2} $ 上 $ x_1 $ 是 $ (e +\widetilde{x_2}) $ .
根據 Frisch-Waugh-Lovell 定理,OLS 估計的係數為 $ x_2 $ 在您的估計模型中將與來自的 OLS 估計相同
$$ y_i = \alpha_0 +\alpha_2 (e_i +\widetilde{x_{2i}}) + u_i $$
所以我們有$$ \hat{\alpha_2} = \frac{Cov(y_i, (e_i +\widetilde{x_{2i}}))}{Var(e_i +\widetilde{x_{2i}})} $$
您將插入 $ y_i = \alpha_0 +\alpha_{1i} x_1 +\alpha_2 x_{2i}+u_i $ ,並註意 $ Cov(x_{1i}, \widetilde{x_{2i}})=0 $ 因為 $ \widetilde{x_{2i}} $ 是 OLS 回歸的殘差 $ x_1 $ 作為回歸者。要繼續,您需要對以下內容做出假設 $ Cov(x_{1i}, e_i)) $ 和 $ Cov(u_{i}, e_i)) $ .
估計效果 $ x_1 $ 上 $ y $ ,我們需要考慮回歸 $ x_1 $ 上 $ x_2 $ .
$$ x_1 = a_0 +a_1 x_2 + \widetilde{x_1} $$
使用錯誤測量的版本 $ x_2 $ ,
$$ x_1 = a_0 +a_1 \bar{x_2} - a_1e + \widetilde{x_1} $$
殘差是 $ (- a_1e + \widetilde{x_1}) $ .
我們應用 Frisch-Waugh-Lovell 定理來了解 $ x_1 $ 與來自的估計相同, $$ y_i = \alpha_0 +\alpha_1 (- a_1e + \widetilde{x_1}) + u_i $$
這是$$ \hat{\alpha_1} = \frac{Cov(y_i, (- a_1e + \widetilde{x_1}))}{Var(- a_1e + \widetilde{x_1})} $$
與之前類似,您將插入 $ y_i = \alpha_0 +\alpha_{1i} x_1 +\alpha_2 x_{2i}+u_i $ ,並註意 $ Cov(x_{2i}, \widetilde{x_{1i}})=0 $ 因為 $ \widetilde{x_{1i}} $ 是 OLS 回歸的殘差 $ x_2 $ 作為回歸者。要繼續,您需要對以下內容做出假設 $ Cov(x_{1i}, e_i)) $ 和 $ Cov(u_{i}, e_i)) $ .