計量經濟學
使用多元正態分佈的 MLE
我正在閱讀一位日本教授的計量經濟學講義。為了解釋 MLE 估計，他使用多元正態分佈。
如您所見，第一行是對數概似函式，第二行與第一行方程成正比。我無法理解這一點。第一個方程如何以及為什麼可以使用矩陣的跡寫成第二個方程。我聽說過“跟踪技巧”，這一定是這個技巧的應用，但我需要幫助來理解它並可能使用它。謝謝
您所指的“技巧”是矩陣乘積的蹟的屬性，即
$$ {\rm tr}(ABC) = {\rm tr}(BCA) $$ 當然，假設尺寸是符合要求的。
現在，注意維度 $ (x_n-\mu)^T\Sigma^{-1} (x_n-\mu) $ ，對於每個觀察，是 $ 1 \times 1 $ . 如此瑣碎，
$$ {\rm tr}\Big[(x_n-\mu)^T\Sigma^{-1} (x_n-\mu)\Big] = (x_n-\mu)^T\Sigma^{-1} (x_n-\mu) $$ 但由於同樣，從所提到的跡線屬性，
$$ {\rm tr}\Big[(x_n-\mu)^T\Sigma^{-1} (x_n-\mu)\Big] = {\rm tr}\Big[\Sigma^{-1} (x_n-\mu)(x_n-\mu)^T\Big] $$ 組合一個得到多變數正態對數概似的替代表達式。