隨機增長時間序列的乘法分解——求解特徵函式/特徵向量
我試圖了解Lars Hansen 的計量經濟學論文“隨機經濟中的動態估值分解”中使用/提出的工具。在論文的一部分中，漢森介紹了一個長期近似值。這種近似首先需要我們求解一種條件期望運算元的本徵函式。作為練習，我正在嘗試解決以下範例。 $ \newcommand{\E}{\mathbb E} $ 假設
$$ X_{t+1} = A X_t + B W_{t+1} $$ 其中 A 具有穩定的特徵值並且 $ {W_{t+1} : t = 0,1,… } $ 是多元標準正態分佈隨機向量的獨立同分佈序列。假設 $$ \log M_{t+1} - \log M_t = D \cdot X_t + F \cdot W_{t+1}. $$ 我想證明方程存在一個解 $$ \E \left [ \frac{M_{t+1}}{M_t} e(X_{t+1}) \mid X_t = x \right ] = \exp(\eta) e(x) \tag{1} $$ 為了 $ \log e(x) = H \cdot x. $ 我還想計算該值 $ \eta $ . 進步：
問題的開始很簡單。利用對數正態隨機變數的性質，我們可以從 (1) 計算
$$ \begin{align} \exp{ (D’ + H’A) x + \frac 12 (F’ + H’ B)’(F’ + H’B)} &= \exp{\eta + H’ x} \ (D’ + H’(A - I)) x + \frac 12 (F’ + H’B)’(F’ + H’B) &= \eta. \end{align} $$ 這可能是一個簡單的問題。似乎很明顯存在一個解決方案，我已經解決了 $ \eta. $ 但據我了解，解決這個問題需要做出一個“猜測” $ e $ 是線性的 $ x $ . 我不知道是什麼 $ H $ 是。因此，我需要解決 $ H $ 和 $ \eta $ . 我該怎麼做？ *注意：*這個問題與關於“將加法泛函分解為鞅部分和其他”的問題有關。
到目前為止所取得的進展似乎是正確的。解決這個問題只需要我們論證 $ H $ 必須選擇使得方程
$$ (D’ + H’(A - I)) x + (F + H’B)’(F + H’B) = \eta $$ 適用於所有人 $ x $ . 因此，我們必須有 $ D’ + H’(A - I) = 0 $ 因此， $ H’ = D’(I-A)^{-1} $ . 這意味著 $ \eta = (F’ + H’B)’(F’ + H’B) $ .