證明股息價格比率是一個 ARMA(p, q) 過程
讓對數紅利增長根據 $ \Delta d_{t+1} = \epsilon_{d, t+1} $ 在哪裡 $ \epsilon_{d, t+1} $ 只是白雜訊。讓日誌返回為 $ r_{t+1} = x_t + y_t + \epsilon_{r, t+1} $ 在哪裡 $ x_t = b_x x_{t-1} + \delta_{x, t} $ 和 $ y_t = b_y y_{t-1} + \delta_{y, t} $ 和 $ \epsilon_{r, t+1} $ , $ \delta_{x, t} $ ， 和 $ \delta_{y, t} $ 都是白雜訊。求解股息價格比率， $ d_t - p_t $ 並表明它是一個 $ ARMA(p, q) $ 過程，找 $ p $ 和 $ q $ .
我所做的是從著名的 Campbell-Shiller 分解開始： $ d_t - p_t = E_t \sum_{j=1}^{\infty} \rho^{j-1}(r_{t+j} - \Delta d_{t+j}) $ 並且可以很容易地證明 $ E_t(r_{t+j}) = b_x^{j-1} x_t + b_y^{j-1} y_t $ 和 $ E_t(\Delta d_{t+j}) = 0 $ 所以我們得到
$$ d_t-p_t = \frac{x_t}{1-\rho b_x} + \frac{y_t}{1-\rho b_y} $$ 我現在堅持試圖證明這是一個 ARMA(p, q) 過程。我嘗試過的是替換 $ x_t $ 和 $ y_t $ 要得到：
$$ d_t - p_t = b_x \frac{x_{t-1}}{1-\rho b_x} + b_y \frac{y_{t-1}}{1-\rho b_y}+ \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y} $$ 但我堅持操縱 RHS 形成一個 $ d_{t-1} - p_{t-1} $ ，具體來說，我知道 $ d_{t-1}-p_{t-1} = \frac{x_{t-1}}{1-\rho b_x} + \frac{y_{t-1}}{1-\rho b_y} $ 但係數 $ b_x $ 和 $ b_y $ 在 RHS 上讓事情變得困難。
編輯：我做了更多的鍛煉，這就是我所做的：
$$ \begin{align*} d_t - p_t & = \frac{x_t}{1-\rho b_x} + \frac{y_t}{1-\rho b_y} \ & = \frac{b_x x_{t-1} + \delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{b_y y_{t-1} + \delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \ & = b_x \frac{x_{t-1}}{1-\rho b_x} + b_y \frac{y_{t-1}}{1-\rho b_y} + \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \ & = b_x\left(d_{t-1} - p_{t-1} - \frac{y_{t-1}}{1-\rho b_y} \right) + b_y\left(d_{t-1} - p_{t-1} - \frac{x_{t-1}}{1-\rho b_x} \right)+ \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \ & = (b_x + b_y)(d_{t-1} - p_{t-1})-b_x\left(\frac{b_y y_{t-2} + \delta_{y, t-1}}{1-\rho b_y} \right)-b_y\left(\frac{b_x x_{t-2} + \delta_{x, t-1}}{1-\rho b_x} \right) + \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \ & = (b_x + b_y)(d_{t-1} - p_{t-1}) - b_xb_y\left(\frac{x_{t-2}}{1-\rho b_x} + \frac{y_{t-2}}{1-\rho b_y} \right) - b_x \frac{\delta_{y, t-1}}{1-\rho b_y}- b_y \frac{\delta_{x, t-1}}{1-\rho b_x}+ \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \ & = (b_x + b_y)(d_{t-1} - p_{t-1}) - b_xb_y(d_{t-2} - p_{t-2}) - b_x \frac{\delta_{y, t-1}}{1-\rho b_y}- b_y \frac{\delta_{x, t-1}}{1-\rho b_x}+ \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \end{align*} $$ 所以看起來有兩個滯後 $ d_t-p_t $ 但我不確定如何操縱移動平均線…
你好：我不知道你從哪裡得到的表達 $ d_{t-1} - p_{t-1} $ 但假設這是真的，那麼我認為你基本上就在那裡。取最後一個表達式，首先考慮兩個滯後的白雜訊項。它們可以加在一起形成一個滯後的白雜訊項，因為我很確定兩個白雜訊過程的總和仍然是白雜訊。類似地，可以將兩個非滯後白雜訊項相加以形成一個非滯後白雜訊項。所以，你最終得到一個 MA(1)，所以整個表達式是 ARMA(2,1)。當然 MA(1) 部分在滯後項和非滯後項上都有一些複雜的常數係數，但它們並不是非常重要。此外，您始終可以進行正規化，使 MA(1) 部分的非滯後係數為 1.0。如果您或任何人認為這種推理有缺陷，請告訴我，因為我沒有看到其中的缺陷並且全神貫注。謝謝。
$ \boldsymbol{EDIT} $
Elbarto：在過去的 5 到 6 年裡，我已經處理了很多 ARIMA 模型，所以這讓我很困擾，所以我堅持了下來。事實證明（在我最初可能在潛意識中進行的多次閱讀之後）原始表達式的最後 4 個術語確實代表了一個 MA(1) 過程。我犯的錯誤是我的論點是錯誤的。以下是文獻中使用的論點，用於顯示任何 ARIMA 類型的“過程”簡化為什麼過程。
在過程的每個滯後處建構自相關。
如果該計算產生的函式形式的行為方式（就其形狀而言）與某些眾所周知的 ARIMA 模型相同，則原始未知過程等價於該眾所周知的過程。
不幸的是，我們無法得出使用您的方法的過程，這種方法更直接，對我來說更直覺。上面的 1) 和 2) 論點源於這樣一個事實，即任何平穩和可逆的 ARIMA 模型在模型參數和模型自相關之間都有 1 對 1 的映射。因此，如果您知道自相關形狀，您就知道過程。我不確定是否需要定理的平穩部分，事實上，我什至不知道它是否是一個實際的定理。我只是認為它是一個定理，但它是正確的。與此論點的最佳類比是了解 DSP 框架中的脈衝響應。不過，出於直覺，我更喜歡你的方法。
因此，長話短說，使用這種方法，將這 4 個術語作為一些未知的 ARIMA 過程併計算其自相關。由於該過程顯然在滯後 1 處具有非零自相關，之後為零，因此它是 MA(1) 過程。這是文獻中使用的通用論點的一個具體案例，但考慮到您的方法似乎也很合理，這有點令人不滿意。我的想法是一對一映射定理必須等同於你（和我後來）試圖做的事情。
最後，如果你想被打擾（我不想被打擾），你可以計算那個 4 項過程的自相關。這將是三個參數的一些函式。然後將該函式設置為 $ \frac{\theta}{(1+\theta^2)} $ 並希望（它對我來說看起來很醜，即使我可能會被打擾，我也可能會在某個地方犯錯）解決 $ \theta $ . 這意味著四項過程是一個帶有參數的 MA(1) $ \theta $ . 無論如何，計算它的用處是你會有 $ \theta $ 作為其他參數的一些函式： $ b_{x} $ , $ b_{y} $ 和 $ \rho $ .
有了這些，可能會更清楚代數論證是什麼會顯示相同的東西？？？我們必須以某種我看不到的錯誤方式來考慮它（也許是縮放標準化問題？）。
我現在相當滿意所以，如果你不能被打擾，我理解。一切順利，感謝您提出的簡潔問題。我從你那裡學到了一些東西，也在我的Google搜尋過程中學到了一些東西。
$ \boldsymbol{Last~~ Comment} $
埃爾巴托：最後一件事。請記住，相同的自相關參數可能已用於包含 AR(2) 項的完整表達式。我不知道這有多困難，但它並不像 MA(1) 那樣容易，因為現在 ACF 會慢慢消亡或根據根部振盪。事實上，我敢打賭，直接展示 AR(2) 會比你做更多的工作，所以不值得追求。