表明變換是保持度量的
注意：這個問題與這個關於建構隨機過程的問題有關。具體來說，它涉及到轉型 $ \mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega $ 這是提到的。以下是幫助理解此類轉換的範例。如果這樣的變換是測度保持的，那麼分佈函式 $ X_t $ 對所有人都是一樣的 $ t \geq 0 $ .
如果我們假設 $ \Omega = [0,1) $ 然後 $ Pr $ 是統一的度量，並且
$$ \mathbb S(\omega) = \begin{cases} 2 \omega & \omega \in [0, 1/2) \ 2 \omega - 1 & \omega \in [1/2, 1), \end{cases} $$ 我們將如何證明 $ \mathbb S $ 是保尺度嗎？ 只需在 $ \Omega $ . 但是嘗試如此明確地進行任意間隔 $ (a,b) \subset \Omega $ 很難說比 $ \mathbb S((a,b)) \subset [0,1) $ 什麼時候 $ (a,b) \subset [0,1/2) $ 再說一遍 $ \mathbb S((a,b)) \subset [0,1) $ 什麼時候 $ (a,b) \subset [1/2) $ . 鑑於此，有什麼簡單的方法可以爭論 $ \mathbb S $ 是保尺度嗎？
為了表明轉換是保持度量的，您需要顯示完整的原像 $ S^{-1}(A) $ Borel 中任意集合 A 的 $ \sigma $ - [0,1) 上的欄位再次位於同一 $ \sigma $ -field，即它是可測量的，並且 $ Pr{S^{-1}(A)} = Pr{A}. $
正如您正確指出的那樣，對於任何常用拓撲的基礎（即所有開區間）都足以顯示它。
很明顯，原像 $ (a,b) $ 是 $ (\frac{a}{2},\frac{b}{2})\cup (\frac{1}{2}+\frac{a}{2},\frac{1}{2}+\frac{b}{2}) $ . 顯然，在 Borel $ \sigma $ -field，因為它是兩個開區間的並集，並且 $ Pr{(\frac{a}{2},\frac{b}{2})\cup (\frac{1}{2}+\frac{a}{2},\frac{1}{2}+\frac{b}{2})} = Pr{(a,b)} = b-a $
我們證明了任何開區間的原像都是可測的，並且與區間具有相同的測度。由於開區間形成了通常拓撲的基礎，我們可以將此結果擴展到任何可測量的集合併完成證明。