相關誤差項的同時直覺
我正在閱讀 Halbert White 的計量經濟學者的漸近理論，並試圖找出錯誤相關情況的直覺。
這是設置：
$ Y_{t1} = Y_{t2}\alpha_o + \pmb W_{t1}^T \pmb \delta_o + \epsilon_{t1}, E(\pmb W_{t1}\epsilon_{t1}) = 0 $
$ Y_{t2} = \pmb W_{t2}^T\pmb \gamma_o + \epsilon_{t2}, E(\pmb W_{t2}\epsilon_{t2}) = 0 $
還有一些其他假設，但我很難推理的是 $ E(\epsilon_{t1}\epsilon_{t2}) \neq 0 $ . 什麼時候會出現這種情況？
編輯：
使用單變數框架，這是我目前理解同時性的方式（可能是大錯特錯）：
假設模型 $ y_1 = xb + \epsilon $ . 我們已經知道 $$ \begin{align} \frac{cov(x,y_1)}{var(x)} = \hat b \end{align} $$
代入等式 $ y_1 $ 並簡化我們得到 $ b = \hat b $ .
現在假設我們遇到了同時性問題。特別是，我們發現模型應該是 $ y_1 = y_2a + xb + \epsilon $ 在哪裡 $ y_2 = x b_2 + \epsilon_2 $ .
那麼我們的錯誤是什麼 $ \hat b $ 實際上等於是：
$$ \begin{align} \hat b = \frac{cov(x,y_1)}{var(x)} = \frac{cov(x,y_2a + xb + \epsilon_2)}{var(x)} = \frac{a\ cov(y_2,x)}{var(x)} + b \neq b \end{align} $$
這對我來說是一個非常簡單的偏見術語：
$$ \begin{align} \text{bias} &= \frac{a\ cov(y_2,x)}{var(x)}\ &= \frac{a\ cov(x b_2 + \epsilon_2,x)}{var(x)} \& = a b_2 \end{align} $$
但是這個同時性的論點看起來不像 $ cov(\epsilon_1, \epsilon_2) \neq 0 $ 大部頭書。真的很像OVB哈哈
幾乎每個社會科學場景都符合條件，事實上，當它不適用時，要找到案例要困難得多。考慮經典範例：
教育使人們獲得更高的收入。然而，收入較高的人更能負擔得起受教育的費用。這導致 $ E[\epsilon_1,\epsilon_2] \neq 0 $ 因為更高的收入導致教育，但教育導致更高的收入。
或者例如考慮在警務方面的開支。更高的警務支出應該會減少犯罪。然而，犯罪率較高的國家需要在警務方面花費更多。更多的警務導致較低的犯罪率，但更高的犯罪率導致更多的警務。
以上兩個只是典型的例子，幾乎每個社會科學問題都會或多或少有明顯的違反 $ E[\epsilon_1,\epsilon_2] \neq 0 $ . 發現不是這種情況的社會科學問題極為罕見。
數學上 $ E[\epsilon_1,\epsilon_2] \neq 0 $ 由於以下原因：
假設我們有反向因果關係，所以我們的結構模型由下式給出：
$$ y_i= \beta_1 x_i+ \gamma_1z_i+\epsilon_1 \ z_i=\beta_2x_i+\gamma_2y_i+\epsilon_2 $$
現在在第一個 eq 假設 $ E(z_{i}u_{i})\neq 0 $ . 如果我們現在將第二個方程代入第一個方程並求解 $ z $ 假如說 $ 1-\gamma_{1}\gamma_{2}\neq 0 $ 得到我們
$$ z_{i}={\frac {\beta _{2}+\gamma _{2}\beta _{1}}{1-\gamma _{1}\gamma {2}}}x{i}+{\frac {1}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}\epsilon_1+\frac{\gamma _{2}}{1-\gamma_1\gamma_2}\epsilon_2 $$
假設 $ x $ 和 $ \gamma $ 是不相關的，那麼我們得到：
$$ E[z, \epsilon_2]={\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}\operatorname {E} (\epsilon_1,\epsilon_2)\neq 0 \implies E(\epsilon_1,\epsilon_2)\neq 0 $$