內生性測試
如果這個問題非常基本，我深表歉意。我有以下普通的工具變數模型。
$ Y=\alpha+X\beta+\varepsilon $
$ X=\delta+Z\gamma+\eta $
$ \varepsilon\perp\eta,\quad Z\perp\eta \quad $ 真的
我有興趣測試 $ \varepsilon\perp X $ ，即 X 是否是第一個方程的有效工具（非常非正式地表述，有人可能會說我想測試是否 $ X $ 是外生的，或者我是否需要檢測 $ X $ 和 $ Z $ )
我的想法是：使用 2SLS 或 GMM 估計 IV 模型，同時使用兩者 $ X $ 和 $ Z $ 作為儀器，然後執行 Sargan/Hansen 測試。我的猜測是測試的力量將取決於強度 $ Z $ 預測 $ X $ （也就是說，關於文書的相關性 $ Z $ 是為了 $ X $ ）。在 2SLS 中，第一階段將完美擬合，測試基本上是測試 OLS 殘差是否正交於 $ Z $ . 這個推理正確嗎？Sargan/Hansen 測試是否是有效測試 $ \varepsilon\perp X $ ?
(i) 我認為你的想法是有道理的。在零下， $ [X,Z] $ 正交於 $ \varepsilon $ . 在替代方案下， $ X $ 與 $ \varepsilon $ . （ii）您的陳述“基本上是對 OLS 殘差是否正交於 $ Z $ “正是我的想法。（iii）您對權力的看法取決於相關性 $ Z $ 也有道理。如果 $ Z $ 是無關緊要的，那麼當下的限制 $ E[Z_i’ (y_i - \alpha - X_i \beta)] = 0 $ 持有任何 $ \beta $ （由於不相關 $ Z_i $ 和 $ X_i $ ) 因此，儘管 OLS 估計量不一致，但 OLS 殘差似乎與工具不相關。我認為這個測試與下面解釋的標準方法密切相關，儘管我在這方面沒有做過任何推導。
(iv) 如您所知，有一些教科書方法可以測試內生性。Stata實現了一些。見
help ivregress postestimation。你會看到estat endogenous那裡。在那裡，對於 2SLS 估計，可以比較 OLS 和 2SLS；或者 $ y $ 回歸於 $ [X,\hat{\eta}] $ , 之後的統計顯著性 $ \hat\eta $ 被測試。