使用一般回歸器測試序列相關性
這是來自 Introductory Econometrics (Wooldridge) 第 5 版第 420 頁。
考慮： $$ y_t =\beta_0 +\beta_1 x_{1t}+\beta_2 x_{2t}+…+\beta_k x_{kt}+u_t $$
在哪裡 $ Cov(u_t, x_{jt})=0 $ 對全部 $ j $ 但也許 $ Cov(u_t, x_{jt-1}) \ne 0 $ 對於一些 $ j $ . 我們擔心自相關，$$ u_t =\rho u_{t-1}+v_t $$
為了測試自相關，文中提出的方法是：
(1) 估計感興趣的回歸方程並獲得殘差， $ \hat{u_t} $ .
(2) 執行回歸：$$ \hat{u_t}=\delta_0 +\delta_1 \hat{u}{t-1}+\delta_2 x{1t}+…+\delta_{k+1} x_{kt} +\varepsilon_t $$
(3) 對顯著性進行標準 t 檢驗 $ \delta_1 $ .
我的問題是，為什麼我們需要在第 2 步的回歸中包含 x 變數？OLS 的一個特性是回歸量與估計的殘差不相關。
案文說，包含是因為嚴格外生性的潛在失敗（即，因為 $ Cov(u_t, x_{jt-1}) \ne 0 $ ) 以及包括 $ x $ 對於我們的 t-stat 獲得正確的 t-分佈是必要的。這是在沒有正當理由或證據的情況下陳述的。
這個想法的基本數學是什麼？
請注意，您的聲明
$ \hat{u}{t} $ 與 $ X{t} $ 通過 OLS 殘差的性質。
是依賴於樣本的，在這個意義上，OLS 正規方程只說 $ \sum_{t=1}^{T}X_{t}\hat{u}_{t}=0 $ , 意思是完整的陳述應該是
$ {\hat{u}{t}}{t=1}^{T} $ 與 $ {X_{t}}_{t=1}^{T} $ 通過 OLS 殘差的性質。
但價值是什麼 $ \sum_{t=2}^{T}X_{t}\hat{u}{t} $ 或者 $ \sum{t=3}^{T}X_{t}\hat{u}{t} $ ? 我不知道。結果，將 $ {\hat{u}{t}}{t=2}^{T} $ 和 $ {X{t}}{t=2}^{T} $ , $ {\hat{u}{t}}{t=3}^{T} $ 和 $ {X{t}}_{t=3}^{T} $ 仍然不相關？我不這麼認為。
現在回到你的問題。用於測試的一般輔助回歸 $ p $ - 階自相關是 $$ \hat{u}{t}=\gamma^{\top}X{t}+\sum_{j=1}^{p}\alpha_{j}\hat{u}{t-j}+\varepsilon{t}. $$ 由於您包括滯後項 $ \hat{u}{t} $ ，這迫使上述回歸方程的樣本指數為 $ t=p+1,p+2,\ldots,T $ . 如前所述，一般情況下，這會導致回歸結果 $ \gamma $ 偏離 0。（雖然在 null $ \mathbb{E}[u{t}|X_{t},u_{t-1},\ldots,u_{t-p}]=0 $ ，這些係數應該收斂到 0，但這正是我們在這裡測試的。）
你也可以通過一個簡單的數值實驗來驗證它。執行一個簡單的 OLS 回歸，然後 i) 回歸 $ \hat{u}{i} $ 在 $ X{i} $ 使用所有樣本，您將得到 0。ii) 執行相同的回歸但刪除第一個樣本 $ \hat{u}{1} $ 和 $ X{1} $ ，結果不再為 0。
更新。
長話短說，在輔助回歸中，省略 $ X_{t} $ 不會導致不一致，但會污染漸近分佈，因此推斷。
如果我們使用 $ u_{t} $ 在回歸器中，那麼您的主張是正確的，省略 $ X_{t} $ 完全沒問題。但是，當我們更換時，情況就不同了 $ u_{t} $ 經過 $ \hat{u}_{t} $ .
將原始回歸表示為 $$ y_{t}=\beta^{\top}X_{t}+u_{t}, $$ 在同時代外生條件下，不可行的輔助回歸是 $$ u_{t}=\tilde{\delta} u_{t-1}+\tilde{\varepsilon}{t}. $$ 自從 $ u{t} $ 是不可觀察的，我們將它們替換為 $ \hat{u}{t} $ . 注意 $ \hat{u}{t}=u_{t}-(\hat{\beta}-\beta)^{\top}X_{t} $ ，因此儘管之前的真實參數 $ X_{t} $ 正好是0，現在變得很奇怪 $$ \hat{u}{t}=-(\hat{\beta}-\beta)^{\top}X{t}+\delta\hat{u}{t-1}+\varepsilon{t}. $$ 這個方程有點超出傳統的計量經濟學設置，因為偽真值 $ (\hat{\beta}-\beta) $ 本身正在變化並收斂到 0。現在，讓我們首先將樣本大小固定為固定值。
通過直接計算，如果 $ X_{t} $ 在上面的回歸中省略了，我們有 $ \hat{\delta}=\delta-A_{T}+(\sum_{t=2}^{T}\hat{u}{t-1}^{2})^{-1}\sum{t=2}^{T}\hat{u}{t-1}\varepsilon{t} $ ，其中的偏置項 $ \hat{\delta} $ 是 $$ A_{T}=\biggl(\frac{1}{T}\sum_{t=2}^{T}\hat{u}{t-1}^{2}\biggr)^{-1}\frac{1}{T}\sum{t=2}^{T}\hat{u}{t-1}X{t}^{\top}(\hat{\beta}-\beta). $$
現在讓我們看看當 $ T\to\infty $ ，遵循一些標準程序，我們有 $$ \begin{align*} \frac{1}{T}\sum_{t=2}^{T}\hat{u}{t-1}^{2}&=\mathbb{E}[u{t}^{2}]+o_{p}(1)\ \frac{1}{T}\sum_{t=2}^{T}\hat{u}{t-1}X{t}^{\top}&=\mathbb{E}[u_{t-1}X_{t}^{\top}]+o_{p}(1)\ \sqrt{T}(\hat{\beta}-\beta)&\overset{\mathcal{L}}{\to}Z_{1}. \end{align*} $$ 結合以上結果，偏置項* $$ A_{T}=O_{p}(1)O_{p}(1)O_{p}(T^{-1/2})=\color{red}{O_{p}(T^{-1/2})}, $$ 這表明 $ \hat{\delta} $ 還是一致的。當我們使用傳統的方法時，問題就出現了 $ t $ -測試 $ \delta $ , CLT 給出 $$ \sqrt{T}(\hat{\delta}-\delta+A_{T})\overset{\mathcal{L}}{\to}Z_{2}. $$ 這裡 $ Z_{2} $ 是正態分佈 $ t $ -測試基於。然而，當正規化 $ \sqrt{T} $ , 偏置項 $ A_{T} $ 將出現在有限的分佈中 $ \sqrt{T}(\hat{\delta}-\delta) $ 自從 $ \sqrt{T}A_{T}=O_{p}(1) $ ，因此 $ t $ -test 不再有效。
：如果你加強同時代的外生性 $ \mathbb{E}[u_{t}|X_{t}] $ 嚴格的外生性* $ \mathbb{E}[u_{t}|X_{1},\ldots,X_{T}]=0 $ ， 那 $ X_{t} $ 不允許與過去的創新相關聯，則 $ A_{T}=o_{p}(T^{-1/2}) $ 因為第二項變成 $ o_{p}(1) $ ， 和 $ t $ -test 仍然有效。這是教科書上說的。