了解隨機過程的建構
我已經看到以下列方式建模/建構的隨機過程。
考慮機率空間 $ (\Omega, \mathcal F, Pr) $ 然後讓 $ \mathbb S $ 成為（可測量的）變換 $ \mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega $ 我們用來模擬樣本點的演變 $ \omega $ 隨著時間的推移。另外，讓 $ X $ 是隨機向量 $ X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n $ . 然後，隨機過程 $ { X_t: t=0,1,…} $ 用於通過公式對一系列觀察結果進行建模 $ X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)] $ 或者 $ X_t = X \circ \mathbb S^t. $
我應該如何理解樣本點 $ \omega \in \Omega $ 和轉變 $ \mathbb S $ 在這個建築中？（可以 $ \omega $ 在某些情況下會像一系列衝擊一樣嗎？）
更具體地說，我將如何用這種表示法編寫這兩個過程？
過程1：
$$ X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1} $$ 在哪裡 $ X_0 = 0 $ . 過程2：
$$ X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2} $$
您描述的這種結構並不完全通用。事實上，它刻畫了嚴格平穩的時間序列。您會看到它是移位不變的。該運算符 $ S $ 本質上是一個移位運算符。
為了比較，這裡是離散時間過程的通常定義：
定義隨機過程是一個序列 $ { X_t } $ 機率空間上的 Borel 可測圖 $ ( \Omega, \mathcal{F}, \mu ) $ .
現在對於您所描述的，您有一個固定的Borel 可測量地圖 $ X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n $ . 這是根據 $ S $ . 地圖 $ S $ 在 $ \Omega $ 通過只拍攝原像：定義一個度量 $ \mu_S $ 經過
$$ A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)). $$ 所以隨機向量 $ X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n $ 是 $ X \circ S $ 通過施工。他們在 $ \mathbb{R}^n $ . 這樣做 $ S^t $ 對於每個 $ t $ 你有你的時間序列。
至於你的問題 $ \omega $ ，檢查另一個方向的證明應該澄清這一點——即任何嚴格平穩的時間序列必須在某些情況下採用這種形式 $ ( \Omega, \mathcal{F}, Pr) $ , $ X $ ， 和 $ S $ .
基本觀點是，從一般的角度來看，隨機過程是對其可能實現的集合的機率度量。例如，這在維納對布朗運動的構造中可以看到；他建構了一個機率測度 $ C[0, \infty) $ . 所以一般來說，一個 $ \omega $ 是一個樣本路徑，並且 $ \Omega $ 由所有可能的樣本路徑組成。
例如，以您上面提到的兩個過程為例。如果假設創新是高斯的，它們是嚴格靜止的。（任何由高斯創新驅動的共變異數平穩時間序列都是嚴格平穩的。）然後建構將開始於 $ \Omega $ 是所有序列的集合， $ \mathcal{F} $ 這 $ \sigma $ - 由座標圖生成的代數，以及 $ Pr $ 適當的措施。對於白雜訊過程（2）， $ Pr $ 只是對無限產品的產品度量。
參考懷特的計量經濟學者的漸近理論中提到了這種通過嚴格平穩時間序列的偏移來表徵/構造。