為什麼在一世=(X一世−μX)在一世在一世=(X一世−μX)在一世v_i=(X_i-mu _X)u_i是獨立同居嗎？
我不明白。好的，我們有 $ \beta_1-\hat{\beta }1=\frac{\frac{1}{n}\sum{i=1}^{n}v_i}{(\frac{n-1}{n}){s_{X}}^{2}} $ . 因此，對於第一個 OLS 假設結果， $ E(v_i)=E((X_i-\bar{X})u_i\overset{p}{\rightarrow}E((X_i-\mu_X)u_i)=E(X_i-\mu_X)E(u_i)=0 $ （自從 $ E(u_i|X=x_i)=0 $ ）。然後 Stock 和 Watson 說對於第二個 OLS 假設 $ v_i $ 是 iid 並且 $ Var(v_i)<\infty $ . 當然，這是對變數的隨意抽樣，但我無法清楚地證明這一點。在此之後，我們有 $ E(v_i)=0 $ 和 $ Var(v_i)={{\sigma _{v}}^{2}}<\infty $ 所以我們可以申請 CLT 並說 $ n\rightarrow \infty $ $ v_i\sim N(0,{{\sigma {v}}^{2}}/n) $ 自從 $ \frac{1}{n}\sum{i=1}^{n}v_i=\bar{v} $ .
即使在評論交流之後我也不完全確定OP的問題是什麼，但我會回答標題中的問題。
假設我們有一個模型
$$ Y_i = \beta X_i + u_i,;;; i=1,…,n $$ 假設我們從 $ {Y_i, X_i} $ . 這使得每個觀察 $ i $ 與所有其他觀察結果相同且獨立地分佈。
現在考慮隨機變數
$$ v_i=(X_i-\mu _X)u_i = (X_i-\mu _X)(Y_i - \beta X_i) = X_iY_i - \beta X_i^2 - \mu_XY_i+\mu_x\beta X_i $$ 同時也
$$ j\neq i : v_j=(X_j-\mu _X)u_j = (X_j-\mu _X)(Y_j - \beta X_j)=X_jY_j - \beta X_j^2 - \mu_XY_j+\mu_x\beta X_j $$ $ v_i $ 是隨機變數的函式 $ {Y_i, X_i} $ 只是，而 $ v_j $ 是隨機變數的函式 $ {Y_j, X_j} $ 只有那些獨立於 $ {Y_i, X_i} $ . 所以 $ v_i $ 獨立於 $ v_j $ .
此外，由於 $ X_i $ 遵循相同的分佈 $ X_j $ ， 和 $ X_j $ 遵循相同的分佈 $ Y_j $ , 我們有 $ X_iY_i $ 遵循相同的分佈 $ X_jY_j $ 。ETC。所以我們也得出結論 $ v_i $ 將具有相同的分佈 $ v_j $ .