預期短缺單調性
對於比預期短缺更普遍的情況，我必須表現出單調性。
我必須證明 $ E(X|X \geq a) \geq E(X|X \geq b), \forall a,b \in \mathbb{R} $ 以便 $ a\geq b $ 和 $ F_X(a-)<1 $ .
我是這樣開始的：
$ E(X|X\geq b)=\frac{\int_b^{\infty}X dP}{P(X\geq b)}=\frac{\int_b^{a}X dP+\int_a^{\infty}X dP}{P(X\geq b)} \leq \frac{\int_b^{a}X dP+\int_a^{\infty}X dP}{P(X\geq a)}=E(X|X\geq a)+ \frac{\int_b^{a}X dP}{P(X\geq a)} $ ，這沒有幫助，因為 $ \int_b^a X dP $ 是積極的。
你對我有什麼提示嗎？我會很感激的。
$ E(X|X\geq b)=\frac{\int_b^{\infty}X dP}{P(X\geq b)}=\frac{\int_b^{a}X dP+\int_a^{\infty}X dP}{P(X\geq b)} \leq \frac{a\int_b^{a} dP+\int_a^{\infty}X dP}{P(X\geq b)}=\frac{a\int_b^{a} dP+\int_a^{\infty}X dP}{\int_b^{a} dP + P(X\geq a)} $
現在自從 $ a \leq \frac{\int_a^{\infty}X dP}{P(X\geq a)} $ ，上式右邊小於等於 $ \frac{\frac{\int_a^{\infty}X dP}{P(X\geq a)}\int_b^{a} dP+\int_a^{\infty}X dP}{\int_b^{a} dP + P(X\geq a)} = \frac{\int_a^{\infty}X dP}{P(X\geq a)} = E(X|X\geq a) $ .