證明：布朗運動路徑與機率一連續

如何證明標準維納過程的路徑在 $ T $ 機率一？我們可以用獨立的假設來證明它嗎？先感謝您！

使用增量的分佈和獨立性可以證明 $ L^2 $ （均方）連續性。證明 as 的連續性要困難得多。Paul Lévy 對布朗運動的構造與Le Gall相關；另一種方法是通過 Haar 小波函式或傅立葉級數建構布朗運動。

這是定義的一部分

我只想重申凱文的評論，（據我所知，這就是答案）。定義標準布朗運動/維納過程的三個屬性：

1. 獨立增量。
2. 正態分佈，變異數等於時間增量。
3. 路徑是連續的。

希望任何關於隨機指標的“標準”教科書都能重新迭代（Klebaner、Kloeden 和 Platen、Shreve、Oksendal 等）。

然而，正如本評論所述，有可能放棄這個假設並從替代構造/定義開始，連續性可能是結果而不是假設。但是，我懷疑這既更高級，更細緻，也更不標準，所以我不知道這個起點的任何參考資料。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/61452