關於變異數互換的市值市值的結構化問題
任何人都可以為以下問題提供解決方案或一些想法？謝謝
任何衍生品的（未折現）價值是收益的預期價值。
因此 varswawp 的（未折現）值為：
$$ \mathbb{E}\left[ \mathrm{Notional} \cdot 10000 \cdot \left( K^2 - \frac{252}{N} \sum_{i=1}^N \left(\ln \frac{S_i}{S_{i-1}} \right)^2\right) \right] $$
在哪裡，我們可以將所有靜態的東西移到期望之外，然後也將總和的項分開：
$$ \mathrm{Notional} \cdot 10000 \cdot \left( K^2 - \frac{252}{N} \sum_{i=1}^N \mathbb{E}\left[ \left(\ln \frac{S_i}{S_{i-1}} \right)^2 \right] \right) $$
然後我們可以進一步分離：
$$ \mathrm{Notional} \cdot 10000 \cdot \left( K^2 - \frac{252}{N} \left( \sum_{i=1}^m \mathbb{E}\left[ \left(\ln \frac{S_i}{S_{i-1}} \right)^2 \right] + \sum_{i=m+1}^N \mathbb{E}\left[ \left(\ln \frac{S_i}{S_{i-1}} \right)^2 \right] \right) \right) $$
然後我們可以將期望移回每個總和之外（稍後會清楚為什麼）：
$$ \mathrm{Notional} \cdot 10000 \cdot \left( K^2 - \frac{252}{N} \left( \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^m \left(\ln \frac{S_i}{S_{i-1}} \right)^2 \right] + \mathbb{E}\left[\sum_{i=m+1}^N \left(\ln \frac{S_i}{S_{i-1}} \right)^2 \right] \right) \right) $$
在哪裡 $ m $ 是 varswap 生命週期的某個時間點。如果我們設置 $ m $ 這樣它是 40（即 2 個月有 40 天），並且鑑於我們有這 40 天的已實現波動率（20%）：
$$ \sqrt{\frac{252}{40} \sum_{i=1}^{40}\left(\ln\frac{S_i}{S_{i-1}} \right)^2} = 20% $$ $$ \sum_{i=1}^{40}\left(\ln\frac{S_i}{S_{i-1}} \right)^2 = 20%^2 \cdot \frac{40}{252} $$
我們知道 10m varswap 的罷工是 22% - 其中 varswap 的盈虧平衡罷工是罷工，因此它的值為零（保持 $ i $ 和 $ N $ 表示與原始 1y varswap 相同）：
$$ \mathbb{E}\left[ \mathrm{Notional} \cdot 10000 \cdot \left( K^2 - \frac{252}{N-41} \sum_{i=41}^{N} \left(\ln \frac{S_i}{S_{i-1}} \right)^2\right) \right] = 0 $$
所以再一次，取出靜態部分，分割期望，然後將罷工移到等號上：
$$ \mathbb{E}\left[ \sum_{i=41}^{N} \left(\ln \frac{S_i}{S_{i-1}} \right)^2 \right] = K^2 \cdot \frac{N-41}{252} = 22%^2 \cdot \frac{N-41}{252} $$
然後將這些分回我們在上面創建的分解收益中： $$ \mathrm{Notional} \cdot 10000 \cdot \left( K^2 - \frac{252}{N} \left( \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^m \left(\ln \frac{S_i}{S_{i-1}} \right)^2 \right] + \mathbb{E}\left[\sum_{i=m+1}^N \left(\ln \frac{S_i}{S_{i-1}} \right)^2 \right] \right) \right) $$
$$ \mathrm{Notional} \cdot 10000 \cdot \left( K^2 - \frac{252}{N} \left( 20%^2 \cdot \frac{40}{252} + 22%^2 \cdot \frac{N-41}{252} \right) \right) $$
乘以您擁有的所有因素： $$ \mathrm{Notional} \cdot 10000 \cdot \left( K^2 - \frac{40 \cdot 20%^2 + (N-41) \cdot 22%^2 }{N} \right) $$
在這裡，您可以很容易地看到，預期已實現變異數是迄今為止已實現變異數與未來預期已實現變異數的時間加權和。
將所有數字放入：
$$ \mathrm{$1m} \cdot 10000 \cdot \left( 25%^2 - \frac{40 \cdot 20%^2 + (N-41) \cdot 22%^2 }{252} \right) = \mathrm{$1m} \cdot 10000 \cdot \left( 25%^2 - 21.69%^2 \right) $$
回報約為1.54 億美元。這個例子雖然是一個 varswap，vega 的名義價值為5000 萬美元，這是巨大的。