計算從 PCA 載荷解釋的變異數

我有一系列風險資產的回報歷史，我已經執行了一個主成分算法並獲得了前 5 個因素的負載矩陣（num_factors by num_assets）。

我也有一個投資組合（上述宇宙的一個子集），每個資產的權重​​為 w。這個投資組合有一個變異數 \sigma^2。我如何計算出投資組合中來自因子 1 的變異數百分比？

PCA 為您提供形式的共變異數矩陣的分解

$$ \Sigma = V \Lambda V^T $$ 在哪裡 $ \Lambda $ 與對角線上的特徵值對角線。您的投資組合變異數是 $$ w^T \Sigma w = (V^T w )^T \Lambda (V^T w) $$ 另一方面，如果您採用返回矩陣 $ R $ 並定義 $$ F = V^T R $$ 那麼這些所謂的主要投資組合的共變異數矩陣是 $ \Lambda $ . 你可以在這裡找到 Meucci 的。 事實上他寫 $ V^{-1} R $ 用於返回主要投資組合併定義權重 $ w^* = V^{-1} w $ 原始投資組合對主投資組合的權重。

然後他定義 $ v_n = (w^*)^2 \lambda_n^2 $ 第 n 個主投資組合對投資組合變異數的貢獻。如果您將此與投資組合的總波動率聯繫起來，那麼您就完成了。注意 $ V $ 是正交的，這意味著 $ V^{-1} = V^T $ .

我建議閱讀以下白皮書或此部落格條目或此以獲取更多詳細資訊。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/11173