變異數凸風險測度
我希望你能幫助我解決這個我真正難以解決的問題。變異數是凸風險度量嗎？我想不是，但我發現很難找到一個反例。
這是我的想法。我試圖找到一個例子： $ var(\lambda X+(1-\lambda)Y))>\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y) $ . 我知道 $ var(\lambda X+(1-\lambda) Y)= \lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)cov(X,Y) $ $ =\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y) $ .
現在，如果相關性最大，在這種情況下 $ corr(X,Y)=1 $ 然後： $ \lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda(1-\lambda)sd(X)sd(Y)=(\lambda sd(X)+(1-\lambda)sd(Y))^2 $ .
但是我仍然找不到任何大於的範例 $ \lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y) $ .
你能給我一些提示嗎？我很感激。
讓我們考慮您的最大相關情況。您正試圖找到這樣的值
$$ (\lambda \sigma_x+(1-\lambda)\sigma_y)^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2 $$
或者
$$ \lambda^2 \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)+(1-\lambda)^2\sigma_y^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2 $$
或者
$$ \lambda(\lambda-1)\sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)\sigma_y^2>0 $$
或者
$$ \lambda(\lambda-1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2)+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)>0 $$
或者
$$ \lambda(\lambda-1)(\sigma_x-\sigma_y)^2>0 $$
這顯然對任何人都不正確 $ 0\leq\lambda\leq 1. $ 因為 LHS 在最大相關情況下最大：
$$ Var(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda Var( x)+(1-\lambda)Var(y) $$
變異數是凸風險度量。