Vasicek 模型和由回歸率參數化的即期利率
通過求解 SDE，我想得出擴展 Vasicek 模型過程的均值和變異數的分析結果。
$$ dr(t) = \left(\eta - \gamma r(t) \right)dt + c dX(t) $$
在哪裡 $ \gamma $ 是回歸率和 $ s = \frac{\eta}{\gamma} $ 是平均短期利率。
我該如何設置 $ X(t) = r(t) - s $ 並藉助積分因子在 SDE 兩側積分求解 $ e^{yt} $ 第二步得出均值和變異數？
拿你的方程式，
$ dr(t) = \left(\eta - \gamma r(t) \right)dt + c , dX(t) $
並按照您的建議重新排列：
$ dr(t) = \gamma \left(\frac{\eta}{\gamma} - r(t) \right)dt + c , dX(t) $
$ dr(t) = \gamma \left(s - r(t) \right)dt + c , dX(t) $
現在，如果你乘以積分因子 $ e^{\gamma t} $ 正如您所提到的，經過一些操作，您應該得到這個表達式：
$ d \left( e^{\gamma t} r_{t} \right) = e^{\gamma t}\gamma , s ,dt + e^{\gamma t} c , d X(t) $
然後從 0 到 t 積分得到：
$ r_{t} = r_{0}e^{-\gamma t}+ s\left( 1-e^{-\gamma t }\right) +c\int_{0}^{t} {e^{-\gamma \left( t- u \right) } d X(u)} $
所以平均值只是確定性術語，您可以通過 Ito 等距確定變異數。
$ V \left[ r_{t} \mid r_0 \right]={c}^{2} \int_{0}^{t} {e^{-2 \gamma \left(t-u \right)} du}=\frac{{c}^2}{2{\gamma}} {\left( 1- e^{-2 \gamma t} \right)} $
有了上述步驟，您能否澄清您所追求的特定部分？
您還使用“擴展 Vasicek”，在平均值是時間的函式（以最簡單的形式）的意義上，這是不同的。如果這就是你所追求的，那麼請用Google搜尋擴展 Vasicek 漂移的推導。這裡的資訊也很有用。如何在 Hull-White 模型中設置 theta 函式以複製目前收益率曲線