為什麼我們可以用殘差 e 替換因變數 y？

我不明白為什麼我們可以替換y為e：

主要是，為什麼我們可以簡單地將 y 替換為 e，因為 y 定義為：

提前致謝！

你不是在替換 $ y $ 和 $ e $ . 我們正在更換 $ y $ 和 $ \hat{y}+\hat{e} $ ，這是擬合值 $ y $ , 由 $ X\hat{\beta} $ ，加上殘差的估計值，由下式給出 $ y-X\hat{\beta} $ . 所以，通過建設，$$ X\hat{\beta}+\hat{e}=X\hat{\beta}+y-X\hat{\beta}=y $$.

$$ \big[ I-W(W’W)^{-1}W’+WC\big]y = \big[ I-W(W’W)^{-1}W’+WC\big](W\beta + e) $$

$$ =\big[ I-W(W’W)^{-1}W’+WC\big]W\beta + \big[ I-W(W’W)^{-1}W’+WC\big] e $$

分析第一期，

$$ \big[ I-W(W’W)^{-1}W’+WC\big]W\beta = W\beta - W(W’W)^{-1}W’W\beta + WCW\beta $$

簡單化逆，我們得到

$$ …= WCW\beta $$

所以如果 $$ CW = 0 $$

整個第一項為零。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/27184