貝爾曼方程中的逗號和加號有什麼區別？
貝爾曼方程：
$ V(x) = max {F(x,y)+ \beta V(y)} $
$ V(x) = max {F(x,y), \beta V(y)} $
什麼時候用加號，什麼時候用逗號？
你介意給我一個例子來解釋這種差異嗎？
非常感謝你 ！
你應該小心你寫兩個方程的方式，因為 $ \max $ 運營商不同。在第一個等式中，您最大化集合上的目標函式，這意味著您尋找最佳值 $ y $ 鑑於 $ y $ 屬於已知集合。你沒有定義這個集合。在第二種情況下，您選擇兩個值中的最大值。與第一個方程相反， $ y $ 是預定義的，在給定符號的情況下不是要查找的參數。
如果我從符號錯誤中抽像出來，我認為您需要一個範例來理解經典吃蛋糕問題（您的第一個方程式）和停止規則問題（可能是您的第二個方程式）之間的區別。
考慮以下框架。時間是離散的。經濟中有一種好處。我們對消費者的問題感興趣。在每個時期 $ t $ , 消費者可以使用庫存商品 $ x_t $ . 她面臨一個標準的跨期儲蓄問題；她必須決定消耗多少， $ c_t $ ，以及為下一個時期節省多少， $ x_{t+1} $ . 消費者享受流量效用 $ u(c_t) $ 並用一個因素對未來的消費進行折扣 $ \beta $ . 要關閉模型，必須定義一種保存技術。我們可以考慮兩種不同的情況：
(i) 有利率 $ r $ . 消費者可以自由地從儲蓄賬戶中提取任何金額。(ii) 有利率 $ r $ . 然而，消費者不能在不關閉儲蓄賬戶的情況下提取一定數量的商品。
讓我們寫兩種情況下的優化問題：
（一世）
$$ V(x_t)=\underset{0\leq x_{t+1}\leq (1+r)x_t}{\max} {u((1+r)x_t-x_{t+1})+\beta V(x_{t+1})} $$ (二)
$$ V(x_t)=\underset{x_{t+1}= (1+r)x_t \text{ or } 0}{\max} {u((1+r)x_t-x_{t+1})+\beta V(x_{t+1})} $$ 消耗 $ c_t $ 等於 $ (1+r)x_t-x_{t+1} $ . 我們可以和你寫的做一個類比。我的 $ x_t $ 和 $ x_{t+1} $ 是你的 $ x $ 和 $ y $ ， 和 $ F(x,y)=u((1+r)x-y) $ . 在第一種情況下，消費者必須選擇要儲蓄的金額 $ x_{t+1} $ 在區間 $ (0,(1+r)x_t) $ . 第二種情況，她只能選擇是否繼續存錢， $ x_{t+1}=(1+r)x_t $ ，或關閉帳戶， $ x_{t+1}=0 $ . 通過規範化 $ u(0)=0 $ ，第二種情況可以寫成： (二)
$$ V(x_t)=\max {u((1+r)x_t),\beta V((1+r)x_t)} $$ 在第一個問題中，消費者吃了一份蛋糕（蛋糕以一定速度膨脹 $ r $ ) 並保留下一個時期的剩餘部分以最大化她的跨期效用。在第二個問題中，消費者必須決定何時吃完（正在生長的）蛋糕，這定義了停止規則。