交易面試賭博問題
您被邀請參加一對一的擲硬幣賭博遊戲。您的對手手頭有 100 萬美元（您最多可以下注 100 萬美元）。翻轉正面和反面的支出如下：
- 尾巴：您贏了 2 倍的賭注。
- 正面：您輸掉了全部賭注。
這場比賽是一次性的賭博；沒有第二次機會。你會賭多少錢？
（這是來自一次交易採訪，所以它可能涉及選擇正確的風險回報概況。有正確的答案嗎？還是這是一個主觀問題？）
凱利準則給出分數， $ f $ , 目前的資金下注，以最大限度地提高長期增長。標準由下式給出
$$ f = \frac{bp-q}{b}, $$ 在哪裡 $ b $ 是$ 1賭注獲得的獎金， $ p $ 是獲勝的機率，並且 $ q=1-p $ 是輸掉1美元賭注的機率。 在你的情況下 $ b=2 $ , $ p=q=0.5 $ 所以下注的最佳分數是
$$ f = \frac{2\cdot0.5-0.5}{2} = 0.25. $$ 那是您資金的 25% 或25 萬美元。
另一種方法是調整您的賭注以最大化您的預期效用，假設由一個函式給出 $ u(w) $ 你的總財富 $ w $ . 這可能是比使用凱利標準更好的方法，因為如果你想最大化你的長期增長率，凱利分數給出了下注的金額，假設你會下注很多次，但在這種情況下你是告訴你只有一次下注的機會。
如果你賭一小部分 $ x $ 從您的資金中，您將擁有 $ 1+2x $ 如果你贏了並且 $ 1-x $ 如果你輸了，那麼你的預期效用是
$$ \tfrac{1}{2}u(1 + 2x) + \tfrac{1}{2}u(1 - x) $$ 最大化這個相當於最大化 $ u(1+2x) + u(1-x) $ . 在日誌實用程序的特殊情況下 $ u(w)=\log w $ 你需要
$$ \frac{d}{dx} \left( \log(1+2x) + \log(1-x) \right) = \frac{2}{1+2x} - \frac{1}{1-x} = 0 $$ 你可以解決給 $ x = 1/4 $ ，與您使用凱利投注來最大化您的長期增長的答案相同。其他效用函式會給出不同的結果。