為什麼強韌分配是一個有價值的問題？
相對於
穩健的貝氏分配解決了
我不明白。為什麼這是一個值得解決的問題？這似乎與第一個問題相同，但在最大風險和最小回報的假設下。這是荒謬的。為什麼有人會根據最壞情況下的最佳情況來分配他們的投資組合？這並沒有說明投資組合在其他情況下的表現如何，並且由於可能發生其他情況，因此必須將其考慮在內。
我認為您引用的優化問題是笨拙地組裝的，但這裡有一個明智的想法。我可以解釋一個變體，基於極小極大頻率主義者的“風險”。（這裡的“風險”是做出錯誤決定的風險，而不是投資組合風險。）假設您將觀察到一個歷史收益矩陣， $ X $ 然後根據該數據創建一個投資組合，呼叫它 $ w(X) $ . 與這種投資組合規則相關的決策理論“風險”可能是該投資組合的負夏普。（我們希望最小化“風險”。）定義 $$ r(w) = - \frac{w(X)’\mu}{\sqrt{w(X)’\Sigma w(X)}}. $$ 極小極大投資組合規則將是解決以下優化問題的規則： $$ \min_{w \in \mathcal{W}, ,\left(\mu,\Sigma\right) \in \mathcal{B}} E_{X}\left[r(w)\right]. $$ 也就是說，您尋求最大化預期（在複製 $ X $ ) 投資組合規則的真實夏普比率，在一組允許的投資組合規則和一組允許的真實均值和共變異數上。
貝氏形式有點相似，但我認為這個公式更好地說明了這個想法：你不是在為最壞的情況調整投資組合，而是根據最壞的情況調整投資組合規則。
BTW，事實證明，當數據天數主導資產數量時，Markowitz 一般是最優的投資組合規則
因此，讓我先談談為什麼這兩種模型都與我有關。
在第一個模型，Frequentist Markowitzian 模型中，Ito 的方法假設所有參數都是已知的。不需要估算器。
這是一件大事，因為懷特在 1958 年證明了具有 $ \tilde{w}=Rw+\varepsilon, R>1 $ 如果沒有解決辦法 $ R $ 必須在頻率論範式中進行估計。雖然可以使用泰爾回歸等方法，但它與經濟理論不符。只有知道蘋果電腦的真實參數，伊藤的方法才有效。我不。
在貝氏框架中，參數是隨機的而不是數據。它可以採取客觀和主觀兩種形式中的一種。
在客觀形式中， $ \theta=k $ , 但不可觀測。先驗機率分佈是由觀察者創建的關於位置的 $ \theta $ . 如果在博弈論中考慮， $ \theta $ 是在零時間自然選擇的。 $ \theta $ 如果隨機性被認為是不確定性而不是偶然性，則它是一個隨機變數。
在主觀形式上， $ \theta\in{K} $ 和自然吸引 $ \theta $ 在每個實驗的開始。 $ \theta $ 不是一個常數，它是一個真正的隨機變數。
如果您查看您提供的網站，貝氏方法不會像零假設方法那樣提供單點答案。沒有等價於 $ \bar{x} $ 或者 $ s^2 $ . 相反，有一個可能值的分佈 $ \mu $ .
人們只能通過施加效用函式來達到單點，這就是他們所做的。
正是對此的解釋使解決方案存在問題。
在主觀解釋下，你預計自然會在下一個時間段做出非常糟糕的平局。事實上，從某種意義上說，你正在期待下一次發生的最糟糕的平局。
請注意，這是關於參數而不是市場實現。這並不意味著崩潰。例如，讓我們假設 $ \mu_{min}=1.01 $ ，這並不排除實現的價值 $ S_{t+1} $ 從 95% 的增長。因為這是一個系統性的選擇，你真正在做的，隱含的，是假設下一個時期未來最糟糕的經濟狀況。
在客觀解釋中，後驗中的每個點都是有效的可能解。顯然，後部的某些點是如此不可能，以至於一個人可以排除它們。他們提供的解決方案位於密集但不太可能的區域。
換句話說，它可能是參數的真實值，但不太可能。儘管如此，它不太可能向下。在最壞的情況下，這可能是系統性結果，如果你有一個糟糕的歷史樣本來建構你的後驗。通過選擇最壞的情況，您可能總是會感到驚訝。
粗略的Frequentist 等價物是使用來自99.9% 信賴區間底部的參數估計。
信賴區間中的每個點都是等機率的。信賴區間是均勻分佈。如果你有正確的效用函式，那麼選擇每個信賴區間的底部將是一個同樣有效的解決方案。
據我所知，插入信賴區間的底部值而不是使用 MVUE 並沒有什麼令人反感的。雖然它仍然不是一個有效的估計器，但根據 White 的說法，忽略 MVUE 以支持間隔中的某個點並沒有什麼“錯誤”。
我還有另一個顧慮，但要確定它的有效性需要做很多工作。大量工作，我的意思是我可能會在一個小時內解決它，或者可能需要幾週時間。我不太在乎，所以我不打算為此工作，但我將其作為披露提供。
從公理上講，Kolmogorov 的公理與 de Finetti 的 Dutch Book Theorem 之間只有一處區別。它與集合的計數有關。事實證明，這是一件大事。
根據德菲內蒂的機率公理化，保證做市商不會被迫賠錢，集合必須是有限可加的。在 Kolmogorov 下，集合必須是可數加法的。
例如，在解決諸如總體均值的最小變異數無偏估計之類的問題時，隱藏在背景數學深處的假設之一是，在處理連續隨機變數。
形式上，一個集合函式 $ \mu $ 如果給定任何可數的不相交集合，則具有可數可加性 $ {E_k}{k=1}^n $ 在哪個 $ \mu $ 被定義為$$ \mu\left(\bigcup{k=1}^\infty{E_k}\right)=\sum_{k=1}^\infty\mu(E_k). $$
一種非正式的思考方式是想像您將正態分佈在兩個方向上切成一個單位大小的片段。那將是連續分佈上無限數量的不相交集。
貝氏方法不可數相加。相反，您只能剪掉這樣的一組 $ n $ 方法。你可能不採取 $ n $ 到無窮大的極限。
聽起來可能違反直覺，但在將資金置於風險之中時，差異是巨大的。
我相信倫納德·吉米·薩維奇創造了以下類比。
想像一下，你有一個骨灰盒 $ n $ 彩票在裡面。作為博彩公司或做市商，您可以就如何以合理的方式對每張彩票進行定價做出理性決定。
現在想像一個里面有所有整數的甕。你怎麼能明智地為任何一張票定價風險？
頻率論方法產生的解決方案允許聰明的人將合約的凸組合串在一起，這樣他們就不會賠錢。事實上，此類契約通常是自籌資金或支付金額大於資金成本。
如果您的交易對手在資產分配等事情上使用Frequentist方法，並且您知道如何做，您就可以建構無風險的合約組合。它是色盲的數學等價物。頻率論者實際上被可數可加性的假設蒙蔽了雙眼。
打個比方，想像一下有一種設備，當燈為藍色時保證支付，而在綠色時從不支付。你是色盲，所以你相信有機會。對方不是。他們認為你瘋了，或者至少個人不理性。
然而，使用貝氏方法並不是產生一致結果的充分條件，這是一個聰明的對手無法博弈的結果。
一些先前的分佈和一些效用函式可能會產生不連貫的定價。
如果您使用來自數據集外部資訊的真實主觀適當先驗並且使用您的個人效用函式，那麼您是安全的。當您開始建構人工效用函式或先驗時，研究表明您可能被迫承擔損失。
我擔心這是一個極小極大解決方案，極小極大解決方案通常不連貫。至少，我可能會針對你創建一個統計套利案例。另一方面，您不太可能會在意。使用這個效用函式意味著你非常保守和害怕。為了安全，你會心甘情願地放棄回報。
懸而未決的問題是我是否能找到一種方法來迫使你賠錢。