任何人都有關於如何在資產定價模型中使用 epstein-zin 偏好的詳細解釋
我很想知道 Epstein-Zin 偏好如何用於基於消費的資產定價模型。我正在尋找特定的推導（如何獲得 SDF）和可能的數值方法來解決它。例如，您是否對模型進行對數線性化？或者，如果我對價值函式進行迭代，那麼遞歸實用程序將如何發揮作用？做其他事情是典型的嗎？你如何校准或估計它？
簡而言之，這是我想要的完整的初學者指南。
遞歸實用程序
基於消費的資產定價的傳統方法包括時間可分離（加法）預期效用函式， $$ U(C_t,C_{t+1})=u(C_t)+\beta \mathbb{E}t[u(C{t+1})], $$在哪裡 $ \beta<1 $ 衡量不耐煩（主觀折扣因子）。這是第 1.1 章中的第一個方程。在 Cochrane 的一流資產定價書中。這顯然會導致標準的 SDF$$ M_{t,t+1}=\beta\frac{u’(C_{t+1})}{u’(C_t)}, $$或者在普通電力公司的情況下， $ u(C_t)=C_t^{1-\gamma} $ ,$$ M_{t,t+1}=\beta\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-\gamma}, $$在哪裡 $ \gamma\geq0 $ 衡量投資者的風險厭惡程度（效用函式的凹度）。
Epstein 和 Zin (1989, Ecta) 的 遞歸效用將今天的效用定義為$$ U_t=\left((1-\beta)C_t^\alpha + \beta \mathbb{E}t\left[U{t+1}^{1-\gamma}\right]^\frac{\alpha}{1-\gamma}\right)^{\frac{1}{\alpha}}, $$ 在哪裡 $ \beta<1 $ 是主觀折扣因子， $ \gamma\geq0 $ 風險厭惡係數和 $ \Psi=\frac{1}{1-\alpha}\geq0 $ 是跨期替代彈性（EIS）。請注意，時間加法效用是一種特殊情況 $ \alpha=1-\gamma $ 和 $ \Psi=\frac{1}{\gamma} $ . 遞歸效用函式比上述參數化更通用，但這一個可以說是最常見的。Philippe Weil 對遞歸效用的研究做出了重大貢獻。
代理人顯然是規避風險的（不喜歡不同狀態之間的變化），並且顯然更喜歡儘早解決不確定性。然而，EIS 和風險厭惡是負相關的 $ \Psi=\frac{1}{\gamma} $ 對於反派系的標準時間加性預期效用函式。這就是為什麼這些模型難以產生合理的股權溢價的原因之一。另一方面，遞歸效用函式在區分風險厭惡和 EIS 方面沒有問題。
具有遞歸效用的資產定價
上述效用函式的 SDF 為 $$ M_{t,t+1} = \beta^\theta \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-\frac{\theta}{\Psi}} \left(R_{t+1}^W\right)^{\theta-1}, $$ 在哪裡 $ \theta=\frac{1-\gamma}{1-\frac{1}{\Psi}} $ 和 $ R_{t+1}^W $ 是財富組合的總回報（將總消費作為股息支付），這當然不同於可觀察到的市場回報。Munk 偉大的《金融資產定價》一書的第 6.4.4 章，當然還有Epstein 和 Zin (1989)中的一個推導。
遞歸實用程序和電源實用程序的兩個 SDF 看起來並沒有太大的不同。同樣，它們是相同的，如果 $ \theta=1 $ （因此 $ \gamma\Psi=1 $ ）。本質上，所有基於消費的高級模型都寫 $$ M_{t,t+1} = \beta\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-\gamma} Y_t, $$變數在哪裡 $ Y_t $ 通過擷取不同類型的風險，以某種方式使 SDF 更加不穩定。這適用於長期風險模型、習慣形成、罕見災難等。它們解決了Mehra 和 Prescott (1985, JME)的股權溢價難題以及Hansen 和 Jagannathan (1991, JPE)的界限。Cochrane (2017, RF)對這些文獻進行了很好的總結。
顯然，標準歐拉方程也適用於具有遞歸效用的模型，我們可以通過查看$$ \mathbb{E}t\left[M{t,t+1}R_{t+1}\right]=\mathbb{E}t\left[\beta^\theta \left(\frac{C{t+1}}{C_t}\right)^{-\frac{\theta}{\Psi}} \left(R_{t+1}^W\right)^{\theta-1}R_{i,t+1}\right]=1, $$ 或者更方便， $$ \beta^\theta\mathbb{E}t\left[\exp\left(-\frac{\theta}{\Psi}\Delta c{t+1} +(\theta-1) r_{t+1}^W +r_{i,t+1}\right)\right]=1, $$ 在哪裡 $ \Delta c_{t+1}=\ln\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right) $ , $ r^W_{t+1}=\ln(R^W_{t+1}) $ 和 $ r_{i,t+1}=\ln(R_{i,t+1}) $ .
長期風險和對數線性化
正如@fesman 在評論中所建議的那樣，遞歸效用的標準模型是Bansal 和 Yaron (2004, JF)開創性的長期風險模型。話雖如此，如今許多模型都使用了遞歸實用程序。例如，Chen (2016, JFE)主要關註生產方面，並且在他的模型中仍然包括家庭的遞歸效用。
$$ My choice here is completely random, Chen’s paper is simply the top one on my desk. I only want to illustrate that recursive utility is common nowadays. $$ 我不會在這裡解決整個 2004 年的模型，而是給你一個概述會發生什麼。根據Campbell 和 Shiller (1988, RFS)，我們推測一個對數線性形式$$ \ln R_{t+1}^W \approx \kappa_0+\kappa_1z_{t+1}-z_t+\Delta c_{t+1}, $$在哪裡 $ z_t=\ln(P_t)-\ln(C_t) $ 是對數價格消費比， $ \kappa_0,\kappa_1 $ 常數。這就是 BY 2004 中的方程 2。歐拉方程變為 $$ \beta^\theta\mathbb{E}t\left[\exp\left(-\frac{\theta}{\Psi}\Delta c{t+1} +(\theta-1) \left(\kappa_0+\kappa_1z_{t+1}-z_t+\Delta c_{t+1}\right) +r_{i,t+1}\right)\right]=1. $$ 到目前為止這很好，因為 Bansal 和 Yaron 的模型告訴我們 $ \Delta c_{t+1} $ . 我們接下來推測 $ z_t $ 也是線性的，即$$ z_t\approx A_0+A_1x_t+A_2\sigma_t^2, $$在哪裡 $ x_t $ 和 $ \sigma_t^2 $ 是模型中具有給定動態的另外兩個狀態變數。實際上， $ x_t $ 是長期風險成分，並且 $ \sigma_t^2 $ 對數消費增長的條件波動。有關模型描述，請參見他們論文中的等式 (8)。因為這一切都歸結為對數正態分佈，您可以計算歐拉方程中的期望：取已知變數 $ x_t $ 和 $ \sigma_t^2 $ 超出條件期望和使用 $ \mathbb{E}[e^{m+sZ}]=e^{m+0.5s^2} $ 為了 $ Z\sim N(0,1) $ 對於其餘的。Bansal 和 Yaron 論文的附錄包含所有細節。蒙克還在他的書中提出了解決方案。然後你可以得到表達式 $ A_0 $ 等在模型參數方面。
最近一篇關於對數線性化的論文
Pohl、Schmedders 和 Wilms (2018, JF)表明，對數線性化本質上是一階泰勒多項式，由於忽略了高階項，可能會導致非常錯誤的解。在其他論文之後，他們提出了更穩健的數值方法，例如使用二維切比雪夫多項式 $ x_t $ 和 $ \sigma_t^2 $ .