看跌期權和看漲期權價格相同
這是一個常見問題，我一直無法找到滿意的答案。讓我先在這裡說一下。假設利率為 $ 0 $ 並考慮在同一股票（自籌資金，因此沒有股息）相同到期日的看跌期權和看漲期權（均為歐洲）。看跌期權的收益受罷工的限制，而看漲期權的收益不受限制。但是看跌期權平價表明它們具有相同的價格。你如何解釋這個“矛盾”？
我發現的解釋都是關於股票價格如何呈對數正態分佈等。這種解釋不可能是真的，因為看跌期權平價與模型無關。為了使它有點正式，我考慮資產定價的第一定理。然後我們有看跌期權和看漲期權
$$ C = E^Q[\max(S_T - S_0,0)] $$ $$ P = E^Q[\max(S_0 - S_T,0)] $$ 這裡 $ Q $ 是風險中性度量（或 $ T $ -終端措施）。減法 $ P $ 從 $ C $ 我們得到
$$ C - P = E^Q[\max(S_T - S_0,0)] - E^Q[\max(S_0-S_T,0)] $$ 由於期望是線性的並且 $ S_T - S_ 0 = \max(S_T - S_0,0) - \max(S_0-S_T,0) $ 我們有 $$ C - P = E^Q[S_T - S_0] = E^Q[S_T] - S_0 $$ 根據資產定價第一定理，沒有套利意味著折現的資產價格是鞅。貼現率為 $ 0 $ 在這個例子中。因此， $ E^Q[S_T] = S_0 $ . 最後， $$ C = P $$ 所以我基於兩點得出這個結論：沒有套利和利率 $ 0 $ . 在任何地方，我都沒有直接或間接地對 $ S_T $ 在下面 $ Q $ . 那麼對這種現象的解釋是什麼？我能想到的唯一解釋是，如果兩份合約（一份收益有限，另一份收益無限）具有相同的價格，則不一定是套利機會。另一個例子是恰好價格相同的債券和股票。債券具有有限（固定）收益，而股票具有無限收益。這沒什麼奇怪的。同樣，範例中的看跌期權和看漲期權也沒有什麼可疑之處。還有更多嗎？
需要注意的一件事是，確實 $ E^Q[S_T]=S_0 $ , 通過構造, 股價雖然只能跌到 0, 但可以漲到 $ 2,S_0, 3,S_0, 100,S_0 $ , …
因此，隱含地，在時間 T 的股票價格分佈存在約束（否則 $ S_0 $ 會改變）：
- 可能是實際分佈是對稱的 $ S_0 $ （尤其是， $ S_T $ 然後最多可以上升到 $ 2,S_0 $ ) - 這將立即使看漲期權和看跌期權的定價相同
- 例如，價格可能會下降到 10% 或上升到 1000% $ S_0 $ - 但是，然後，帶來的期望 $ S_T $ 回到 $ S_0 $ ，我們需要非常高的下降機率和非常低的上升機率（ $ P_{down} \cdot 0.1 + P_{up} \cdot 10 = 1 $ ).
所以，我認為這裡的關鍵見解是看漲期權的回報是無限的，是的，但股價也是如此 $ S_T $ - 但現在的股價只是 $ S_0 $ ，它施加的約束意味著 $ C=P $ .
順便說一句，相關的謎題：假設你有一個高位數字（如果 $ S_T $ > $ S_0 $ ）。當 vol 趨於無窮時，值是多少？