Lucas (1978) 資產定價模型是否具有完整市場的特徵？
Lucas (1978) 資產定價模型似乎是金融/資產定價模型中的主力模型之一。環境似乎也是如此，聲稱 $ n $ 交易的（外生）生產單位，具有完整的市場。我還看到了這個模型的另一個版本，代理人交易單一股票和單一債券，教練告訴我有完整的市場。
對我來說，這一點都不明顯——代理人無法獲得每個州的 Arrow 證券，或類似的東西。事實上，在原始論文中，狀態是連續的，這讓我更難思考市場的完整性。
誰能告訴我為什麼（或者為什麼不）這個模型具有市場完整性？
任何幫助將不勝感激（或指向相關連結的指針會起作用）。謝謝！
編輯#1： —————————————-
澄清一下，雖然我知道在均衡狀態下（所有相同代理的）淨持有量必須為零，但我擔心的是，可以訪問 AD 證券與無法訪問可能會對資產定價產生影響。我的意思是，儘管在任何情況下，資產持有的結果必須（幾乎通過構造）是相等的，但也許 AD 證券的存在可能會扭曲其他資產的價格（例如股權債權“樹”）。
直覺地說，也許在存在 AD 證券的情況下樹木的價格必須不同，以抵消代理人保持 AD 證券平衡的願望。我確定是否是這種情況的下一個合乎邏輯的步驟是首先考慮市場是否完整——如果市場已經完整，那麼額外的 AD 證券是“多餘的”是某種意義上的，價格不應該改變。如果市場不完整，我最初的直覺是這可能會產生後果（不是資產頭寸，而是價格）。
對我來說，這一點都不明顯，而且我真的很想看到證明。
盧卡經濟中的市場是完整的，但有一些警告。
市場是完整的（僅）關於股息或有債權
考慮一棵樹的盧卡斯經濟。代表性投資者的投資組合可以被視為有股息的 Arrow-Debreu 證券組合。特別是，對於股息或有債權，市場是完整的。
如果 $ D_t $ 是外生股利過程，投資者俱有效用函式 $ u $ , 均衡價格由資產定價 (Euler) 方程表徵 $$ P_t = \sum_{\omega} e^{- \beta }\frac{ u’(D_{t+1})}{u’(D_t)} (\omega)) P_{t+1}(\omega) \cdot p(\omega) $$ 在哪裡 $ \omega $ 是發生在日期的世界的可能狀態- $ t+1 $ 有機率 $ p(\omega) $ . 這將代表投資者的投資組合——盧卡斯樹——分解為 Arrow-Debreu 證券的投資組合。
日期- $ t $ 價格 $ Q(\omega’) $ AD證券的日期- $ t+1 $ 回報是 $ 1_{{ \omega = \omega’ }} $ 是 $$ e^{- \beta }\frac{ u’(D_{t+1})}{u’(D_t)} (\omega’)) \cdot p(\omega’). $$ 盧卡斯樹是一個投資組合，其日期- $ t+1 $ 在國家還清 $ \omega $ 是 $ P_{t+1}(\omega) $ . 因此，與任何AD 經濟體中的**任何投資組合一樣，其日期- $ t $ 價格是總和 $$ Q(\omega) \times P_{t+1}(\omega), $$ 在所有可能的狀態 $ \omega $ .
由此可見，市場是完備的 $ \omega $ - 或有索賠。原則上，該經濟體中的任何投資者都可以使用完整的 AD 證券，並且任何投資組合都可以被 AD 證券組合複製。均衡 AD 價格/隨機貼現因子使得代表投資者的最優投資組合是盧卡斯樹本身。
假設現在有一種無風險資產/儲蓄技術。如果利率 $ r $ 是（誰）給的 $$ e^{-r} = \sum_{\omega} Q(\omega), $$ 那麼代表投資者不會選擇借貸。這是零息債券的無套利條件。（如果說， $ e^{-r} < \sum_{\omega} Q(\omega) $ , 投資者將試圖節省他的部分財富 $ P_t $ 並且只持有樹的一小部分。債券的需求將會過剩。）因此 $ r $ 是出清債券市場的均衡利率。
資產定價方程 $$ \begin{align} P_t & = \sum_{\omega} e^{- \beta + r}\frac{ u’(D_{t+1})}{u’(D_t)} (\omega)) p(\omega) \cdot e^{-r} P_{t+1}(\omega) \ & = \sum_{\omega} \frac{ Q(\omega)}{\sum_{\omega’} Q(\omega’)} \cdot e^{-r} P_{t+1}(\omega) \quad (1) \end{align} $$ 現在說，在無風險利率的市場中 $ r $ 與AD證券一樣，盧卡斯樹是代表投資者的最優投資組合。
非貿易均衡
與任何代表性投資者模型一樣，均衡是無貿易均衡。在每個日期—— $ t $ , 有廣告市場 $ t+1 $ 索賠。在均衡中，沒有交易發生——這些市場的均衡價格正是確保該市場出清條件在均衡路徑上保持的價格。但是可以使用隨機折扣因子/定價核心為衍生品定價。在盧卡斯模型的標準連續時間公式中，可以恢復布萊克-斯科爾斯公式。
非消費風險的不完整性
在盧卡斯經濟中，唯一需要的資產是能夠讓代表投資者對沖其消費風險的資產。對於盧卡斯樹的股息收益率相同的不同狀態，市場是不完整的。
確實，它沒有理由這樣做。為了被誘導持有資產（盧卡斯樹），資產價格必須補償風險規避代表投資者的消費風險。在均衡狀態下，他消耗紅利。這意味著價格，因此隨機折扣因子/定價核心，必須是股息的函式。另一方面，代表投資者並不關心與他的消費無關的風險。
例如，如果世界的可能狀態由下式給出 $ (\omega, \omega’) $ , 和股息 $ D(\omega) $ 只取決於 $ \omega $ , 那麼市場僅關於 $ \omega $ - 或有索賠。這在 Ljungqvist 和 Sargent 中被稱為“人為的不確定性”。
盧卡斯經濟中的布萊克-斯科爾斯公式
在盧卡斯模型的標準連續時間公式中，可以恢復完全市場中歐式看漲期權定價的布萊克-斯科爾斯公式。這是關於股息或有債權的市場完整性的一個例子。
（在數學金融的語言中，完全市場中的衍生品通過風險中性測度定價。貼現價格是風險中性測度下的鞅。這已經反映在離散時間資產定價方程中 $ (1) $ 從上面： $$ \begin{align} P_t & = \sum_{\omega} \frac{ Q(\omega)}{\sum_{\omega’} Q(\omega’)} \cdot e^{-r} P_{t+1}(\omega). \end{align} $$ 風險中性度量是 $ q(\omega) = \frac{ Q(\omega)}{\sum_{\omega’} Q(\omega’)} $ ; 它與 SDF 的區別在於折扣因子 $ e^{-r} $ . Black-Scholes 公式是此公式的連續時間版本。)
假設外生股息過程由下式給出 $$ \frac{d D}{D} = \mu dt + \sigma dW $$ 在哪裡 $ W $ 是標準布朗運動，投資者最大化期望效用 $$ E[\int_0^{\infty} e^{-\beta t} u(c_t) dt], $$ 過度消費流 $ c_t $ 適應於產生的過濾 $ W $ .
資產定價方程為 $$ P_0 = E[\int_0^{\infty} \frac{ e^{-\beta t} u’(D_t)}{u’(D_0)} D_t dt]. $$ 認為 $ u $ 是 CRRA 實用程序 $ u(c) = \frac{1}{1-\gamma} c^{1-\gamma} $ . 然後 $ P_0 $ ，這只是一個期望，可以直接計算： $$ \frac{P_0}{D_0} = \frac{1}{-\beta + (1-\gamma) (\mu + \frac{1}{2} \sigma^2) + \frac{1}{2} (1-\gamma)^2 \sigma^2} \equiv \frac{1}{\delta}. $$ 所以在均衡時，價格股息率 $ \frac{P}{D} $ 是常數 $ \frac{1}{\delta} $ 價格如下 $$ \frac{d P}{P} = \mu dt + \sigma dW. $$股利返還流程
為$$ \frac{d P + D dt}{P} = (\mu + \delta) dt + \sigma dW. \quad (2) $$
假設均衡利率為 $ r $ 在這個經濟體中，盧卡斯樹的 time-0 價格是 $ P $ . 讓 $ E $ 是在時間輸入的盧卡斯樹的歐洲看漲期權的均衡價格- $ 0 $ 適時成熟—— $ t $ 罷工 $ K $ . $ E $ 由標準 Black-Scholes 公式精確給出 $ C(r,P, K, t) $ 用於歐洲通話。
這是從定價核心的直接計算得出的 $ M = u’(D_t) $ ：只需插入即可 $$ \frac{dM}{M} = (-\beta - \gamma \mu + \frac{1}{2}\gamma (1+\gamma) \sigma^2) dt - \gamma \sigma dW. $$ 因此均衡利率為 $$ r = \beta + \gamma \mu - \frac{1}{2}\gamma (1+\gamma) \sigma^2 $$ 右邊三個術語的標準觀察——它們反映了時間偏好、跨期替代和預防性儲蓄。所以 $ \gamma \sigma = \frac{(\mu + \delta) - r}{\sigma} $ 和 $$ \frac{dM}{M} = -r dt - \frac{(\mu + \delta) - r}{\sigma} dW. $$ 所以 cum-dividend 價格過程 $ (2) $ , 折現後 $ e^{-rt} $ , 是風險中性密度下的鞅 $$ \frac{dL}{L} = - \frac{(\mu + \delta) - r}{\sigma} dW. $$ 這正是衍生品定價的 Black-Scholes 設置，歐洲看漲期權的價格也隨之而來。
連續時間的市場完整性
在連續時間模型中給出市場完備性的數學陳述是鞅表示定理，它說關於布朗過濾的每個鞅都可以表示為關於產生該過濾的布朗過濾的 Ito 積分。
結果不適用於一般過濾，即如果 $ W_t $ 是一個 $ (\mathcal{F_t}) $ ——布朗運動，一般來說，不是每一個 $ (\mathcal{F_t}) $ -馬丁格爾是一個 $ dW $ -不可缺少的。
這與市場僅在股息或有債權方面是完整的經濟陳述是一致的。在 Lucas/Black-Scholes 的例子中，如果 $ W_t $ 是一個 $ (\mathcal{F_t}) $ -布朗運動，然後均衡價格和 SDF 是可測量的，不僅關於 $ (\mathcal{F_t}) $ 但產生的最小過濾 $ W_t $ . 一般來說，最小過濾小於 $ (\mathcal{F_t}) $ . 可以對沖/複製的投資組合收益僅是那些可衡量的股息（均衡時，價格/SDF），即最小過濾。