美式看跌期權的預期收益
我正在閱讀有關美式期權的資訊，而消息來源讓我對將美式看跌期權視為非股息支付資產的部分感到困惑。
我了解美式看跌期權在到期時的收益由下式給出
$$ \max\left{K-S(T),0\right} $$在哪裡 $ K $ 是行使價和 $ S(T) $ 是標的物在到期時的價格。 一些消息來源指出，考慮到 n 套利，美式看跌期權問題旨在找到期權價值
$$ P(S,t)=\sup_\tau EG_\tau $$在哪裡 $ G_\tau $ 是增益函式，E 是期望。 在我的理解中，增益函式等價於支付函式，因此
$$ V(S,t)=\sup_\tau E[max\left{K-S(\tau),0\right}] $$所有停車時間 $ \tau $ . 但是，我也偶然發現了這樣的消息來源
$$ (S,t)=\sup_\tau E[e^{-r(\tau-t)}\max\left{K-S,0\right}] $$所有停車時間 $ \tau $ . 這背後有什麼解釋？
正如你提到的，這背後的解釋可能是
$$ … $$美式看跌期權到期的收益由下式給出 $$ \max\left{K-S(T),0\right} $$
和
$$ … $$來源$$ … $$比如說$$ (S,t)=\sup_\tau E[e^{-r(\tau-t)}\max\left{K-S(\tau),0\right}] $$
因此，兩者之間的差異似乎是考慮到我們距離行使/停止日期（與到期日相同，如果 $ \tau=T $ )，這意味著（連續地）計算這個未來收益的現值。如果 $ (\tau-t \rightarrow0) \land (\tau=T \lor t \rightarrow T) $ , 兩個方程相等。
如果一個人決定（出於某些原因）期權將在到期時行使，即 $ \tau=T $ 而那個“現在”， $ t $ , 是“變成這個未來的日期 $ T $ “， IE $ t \rightarrow T $ , 一個得到
$ T-t \rightarrow 0 \implies \sup_T e^{-r(T-t)} \rightarrow 1 $
$ \implies \sup_T E[e^{-r(T-t)}\max\left{K-S(T),0\right}] $
$ \rightarrow E[\max\left{K-S(T),0\right}]\rightarrow\max\left{K-S(T),0\right} $
上面最後一行表明預期收益變得確定。