Black-Cox 模型的 Feynman-Kac 表示
考慮 Black and Cox (1976, Journal of Finance) 的標准設置。
一家公司發行可違約息票債券來為符合幾何布朗運動的生產性資產提供資金： $$ dx_t = \mu x_t dt + \sigma x_t dW_t $$ 帶吸收屏障 $ x_b $ （預設門檻值）。債券支付固定票面利率 $ c $ 和校長 $ p $ , 並且有成熟度 $ t \in [0, T] $ . 息票和本金的支付以沒有違約為條件，否則回收價值為 $ \alpha x_b $ .
債券的價格 $ u $ 由偏微分方程描述： $$ \frac{\partial u}{\partial t}(x,t) + \mu \frac{\partial u}{\partial x}(x,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) - r u(x,t) + c = 0 $$ 為所有人定義 $ x \in \mathbb{R}_+ $ 和 $ t \in [0,T] $ , 受限於邊界條件： $$ u(x,T) = p; ; ; u(V_b, t) = \alpha x_b $$
表示為 $ f(s; x_t) $ 第一次通過時間的密度 $ s $ 的 $ x_t $ 至 $ x_b $ 和 $ F(s; x_t) $ 累積分佈。pde 的解決方案是（如果弄錯了，請糾正我！）：
$$ \begin{equation} \begin{split} u(x_t, t) = & \int_t^T e^{-r(s-t)} c [1-F(s; x_t)] ds + e^{-r(T-t)} p [1-F(T; x_t)] \ & + \int_t^T e^{-r(s-t)} \alpha x_b f(s;x_t) ds \end{split} \end{equation} $$
第一個問題：獲得這個公式的唯一方法是 FK 表示嗎？我正在研究像 Black-Scholes 中那樣直接攻擊 pde（例如通過等效擴散方程的解），但我不清楚如何處理屏障。
第二個問題：在這種情況下，哪個是 FK 表示？我的嘗試是： $$ \begin{equation} \label{FeynmanKac} \begin{split} u(x_t, t) = E_t \Bigg{ & \int_t^{T \wedge \tau_b} e^{- r(s-t)} c ds + \ & e^{- r(T \wedge \tau_b - t)} \Big( 1_{{ \tau_b > T }} p + 1_{{ \tau_b < T }} \alpha x_b \Big) \Bigg} \end{split} \end{equation} $$ 在哪裡 $ \tau_b $ 是第一次通過時間 $ x_t $ 通過 $ x_b $ 和 $ 1 $ 是指標函式。不完全確定如何從 FK 獲得密度，這是最讓我困惑的步驟。
我不確定這是否能回答您的問題，但您所說的“pde 解決方案”確實直接來自您的機率設置。
和 $ t=0 $ ， 我們有：
$$ E \left[ e^{- rT}p 1_{x_T\geq p, \tau_b\geq T}\right] = e^{- rT}p Q(x_T\geq p, \tau_b\geq T) $$
$$ E \left[ e^{- r\tau_b} \alpha x_b 1_{ \tau_b< T}\right] = \alpha x_b \int_0^T e^{- rs}; dQ(\tau_b\leq s) $$
$$ E \left[ \int_0^{T} e^{- rs} c 1_{\tau_b>s}ds \right] = c \int_0^{T} e^{- rs} Q(\tau_b>s) ; ds $$
似乎錯過的部分預設為 $ T $ 有恢復 $ x_T<p $ :
$$ E \left[ e^{- rT} x_T 1_{x_T< p, \tau_b\geq T}\right] = e^{- rT} \int_{x_b}^p x ; dQ( x_T< x, \tau_b\geq T ) $$
但是您可能不需要它，因為您的邊界條件是 $ u(x,T)= p $ ， 代替 $ \min (p,x) $ .
聯合 cdf 為 $ x_T $ 和 $ \tau_b $ 和 cdf $ \tau_b $ 以封閉形式已知（包括有條件的 $ \cal F_t $ , $ t>0 $ ).