如果看漲期權可能到期 OTM，為什麼標的價格上漲 1美元不一定會使看漲期權的價格增加1美元？
茲維·博迪、亞歷克斯·凱恩、艾倫·J·馬庫斯。投資（2018 年 11 版）。p 723 掃描。
圖 21.9 驗證了看漲期權估值函式的斜率小於 1.0，只有當股票價格遠高於執行價格時才接近 1.0。這告訴我們期權價值隨著股票價格的變化而變化小於一對一。為什麼會這樣？假設一個期權在貨幣中到目前為止，你絕對確定它會被行使。在這種情況下，股價每上漲 1 美元，期權價值就會增加1美元。但是，如果看漲期權有合理的機會到期，即使在股價適度上漲之後，期權價值也會增加1美元。股價不一定會增加看漲期權的最終回報；因此，贖回價格不會響應一整美元.
請詳細說明一下？作者沒有說明所有原因。如果呼叫有可能到期 OTM
- 為什麼標的資產價格上漲 1美元不會“必然增加看漲期權的最終回報”？
- 為什麼通話價格不會增加整整 1 美元？
看漲期權價格不與標的股票現貨價格成一比一增加的原因很簡單：股票價格上漲 1 美元只會增加期權成為 ITM 的可能性。它不能保證到期時收益增加 1 美元。看漲期權的價格自然不會增加 1 美元。
更準確地說，看漲期權的價格應該增加期權為 ITM 的機率，該機率小於 1。這一事實與模型無關。（嘗試在標的資產上漲 1 美元時以 1 美元加目前價格買入看漲期權，看看會發生什麼。）
因此，任何模型的期權價格都將具有此屬性。例如，考慮兩個基本模型——二叉樹模型和 Black-Scholes 模型。
二叉樹
假設今天的股價是 $ S $ . 明天股價可以 $ S+\Delta S $ 有機率 $ q $ 和 $ S-\Delta S $ 有機率 $ 1-q $ .
價格 $ C $ 帶有行使價的歐式看漲期權 $ K > S - \Delta S $ 因此等於預期收益 $ (S + \Delta S - K)q $ .
（正確，假設無風險利率 $ r $ , $ q $ 應該是由下式給出的風險中性機率 $$ q e^{-r} (S + \Delta S) + (1- q) e^{-r} (S - \Delta S) = S. $$ 但這不是討論的中心。)
如果 $ S $ 增加到 $ S + 1 $ , 通話價格變為 $ C = (S + 1 + \Delta S - K)q $ . 看漲期權價格的上漲恰好是機率 $ q $ 呼叫是 ITM。
布萊克-斯科爾斯
在 Black-Scholes 的背景下，期權價格相對於標的資產的敏感性稱為期權的delta。它是delta 對沖中出現的標準數量。
讓 $ C(S_0, K) $ 表示歐式看漲期權價格的 Black-Scholes 公式 $ K $ 適時成熟 $ T $ . 呼叫的增量是偏導數 $ \frac{\partial C}{\partial S_0} $ . delta是增加的 $ C(S_0, K) $ 什麼時候 $ S_0 $ 增加 1 美元。
如您所料，從 Black-Scholes 公式中可以直接得出 delta $ \frac{\partial C}{\partial S_0} $ 等於期權到期時為 ITM 的（風險中性）機率。
（在 Black-Scholes 中，在風險中性動態下，股票價格 $ S_T $ 成熟時 $ T $ 是（誰）給的 $$ S_0 e^{( r + \frac12 \sigma^2 )T + \sigma \sqrt{T} N} $$ 在哪裡 $ N $ 是標準正態隨機變數。所以 $ \frac{\partial C}{\partial S_0} $ 等於 $$ P( S_0 e^{( r + \frac12 \sigma^2 )T + \sigma \sqrt{T} N} > K) $$ 在哪裡 $ N $ 是標準正態隨機變數。)
如果看漲期權的行使價為 20美元，那麼對於任何低於 20美元的股票價格，到期看漲期權將毫無價值。因此，如果到期價格為15美元而不是14美元，則價值不會增加。
在到期之前，這意味著期權的 delta 小於 1，這意味著看漲期權價值的增長小於價格的上漲。