這是引理推導
我正在研究資產定價並正在研究 Ito 的引理，但無法理解給出的幾個步驟。
伊藤引理指出，給定
$$ dx_t = \mu dt + \sigma dz_t \ y_t = f(t, x_t) $$ 然後
$$ (1) \quad dy_t = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dx_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dx^2_t \ $$ 我使用鍊式法則和第二個方程的二階泰勒展開來理解這部分。我不明白為什麼會出現以下情況：
$$ () \quad dy_t = \left[\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \mu + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \sigma^2 \right] dt + \left[ \frac{\partial f}{\partial x} \sigma \right] dz_t \ $$ 當我代替 $ dx_t $ 進入 $ (1) $ 並使用以下事實 $ dz^2_t = dt $ , 還不夠 $ () $ . 我認為 $ dx^2_t $ 字面上可以解釋為 $ (dx_t)^2 $ ，但如果有更好的方法來處理該術語，將不勝感激任何指導。
$$ dx_t = \mu dt + \sigma dz_t \ y_t = f(t, x_t) $$ 這裡的一個關鍵想法是 $ \left( dx_t \right)^2=\left( \ldots \right)dt^2 + \left(\ldots\right) dzdt + \sigma^2 dz_t^2 = \sigma^2 dt $ . 鬆散的推理是 $ \left( dz_t\right)^2 = dt $ 和所有其他條款（即 $ dt^2 $ 和 $ dz, dt $ )無限小於 $ dt $ .
非常鬆散的直覺 $ dz_t^2 = dt $ 就是它 $ dz_t $ 隨變異數正態分佈 $ dt $ ，因此平方的期望 $ dz_t $ 是 $ dt $ .
無論如何，我們有：
$$ \begin{align*} \quad dy_t &= \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dx_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dx^2_t\ &= \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} \left( \mu dt + \sigma dz_t \right)+ \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \sigma^2 dt \ &= \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x}\mu + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \sigma^2 \right) dt + \left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)\sigma dz_t \end{align*} $$ 這是伊藤引理。