資產定價
數學上：增加資產數量如何降低特殊風險？
作為我目前正在學習的資產定價模組的一部分，在查看 APT Ross (1974) 時，我們研究了根據該模型，風險如何源自系統性和特殊資產特定來源。
我們首先考慮了一個具有相同權重的 N 資產投資組合，以顯示增加 N 資產如何降低異質（eP - 這裡我稱之為投資組合 P 的殘差項 e）殘差變異數：
Var(e) = (1/N)*(平均 Sigma e)
很明顯，隨著 N 的增加，e 的變異數減小。
但是，我的問題是關於持有 N 資產但比例不相等的情況。我們最終得到 Var(eP) 的以下表達式：
無功 (eP) =
$$ (Summation from i=1 to N) (wi)^2 * (Sigma ei) $$+ 所有共變異數項 從我們一開始的假設來看，資產 i 的特殊風險不會影響資產 j，因此上述等式中的所有第二項都等於 0。
我的問題是，在下面的等式中，wi 等於資產 i 的權重：
無功 (eP) =
$$ (Summation from i=1 to N) (wi)^2 * (Sigma ei) $$ 我們如何在這裡看到增加 N 會降低特殊風險？
謝謝
- APT 假設特殊風險平均為零： $ E[e_i]=0 $ .
- 大數定律。
從 1 和 2 可以看出，隨著 N 的增加，特殊風險的加權和將收斂到零：
$ \lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N e_p=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N w_ie_i=0 $
嚴格來說，如果權重不相等，則需要對權重進行一些限制 $ \frac{1}{N} $ （例如，參見this），但以上就是它的歸結。