具有 n 個風險資產的 CARA 投資者的投資組合選擇問題
好的，我正在處理一個包含以下內容的問題：
在所有基礎隨機變數都是多元正態的情況下，我希望解決投資組合選擇優化問題（使用已知效用函式最大化效用）。
問題：
定義 $ \phi $ 作為每個投資的金額 $ n $ 風險資產，使得預算約束為：
$ \Sigma_{i=1}^{n}\phi_i=w_0 $ 對於一些初始財富， $ w_0 $
證明最優投資組合是：
$ \phi=\frac{1}{\alpha}\Sigma^{-1}\mu+[\frac{\alpha w_0-1’\Sigma^{-1}\mu}{\alpha 1’\Sigma^{-1}1}]\Sigma^{-1}1 $
其中每個 1 都是 $ n $ 1 的維列向量。
工作/嘗試
好的，這些是我知道的：
我正在處理 CARA 實用程序，它為我提供了以下形式的實用程序函式：
$ u(w)=-e^{-\alpha w} $ 在哪裡 $ w $ 是我的隨機期末財富，我相信它的分配方式為
$ w $ ~ $ N(\mu,\sigma^2) $ 和 $ \mu=\phi’\mu $ （預期回報的向量，按每個投資的金額衡量），以及 $ \sigma^2=\phi’\Sigma\phi $ 在哪裡 $ \Sigma $ 是共變異數矩陣 $ n $ 風險資產。
所以，為了找到這個函式的預期效用，我使用了一個事實，即正態指數的期望是平均值的指數加上變異數的一半，來得出：
$ E(u(w))=-e^{-\alpha\phi’\mu+\frac{\alpha^2\phi’\Sigma\phi}{2}} $
分解出一個負 alpha，並將指數的剩餘部分等同於隨機財富的確定性等價物（我可能解釋得不好，但我幾乎可以肯定這是正確的路徑），我可以通過最大化效用來最大化確定性等價物的效用，這是通過最大化確定性等價物本身來實現的。
說了這麼多，我需要：
$ \frac{\partial}{\partial\phi}\phi’\mu+\frac{\alpha\phi’\Sigma\phi}{2}=0 $
從那裡我似乎無法得到任何接近我應該展示的結果的東西。我有
$ 1’\mu+\alpha\Sigma\phi=0 $
這似乎反映了結果中的第一項，但我不知道其餘的來自哪裡。
任何幫助，將不勝感激。我不確定我的錯誤是在多維偏導數上，還是在獲得需要最大化的函式上。我正在使用的這本書對於單一風險資產也有類似的問題，我可以很好地解決這個問題，但是排除無風險資產（這似乎簡化了財富約束）讓我更加困惑。
問題等價於最大化
$$ \max_\phi \left( \phi ’ \mu - \frac{1}{2} \alpha \phi ’ \Sigma \phi \right) $$ 受制於
$$ \mathbf{1}’ \phi = w_0. $$ （粗體1是1的列向量，‘代表轉置）。
拉格朗日是
$$ L(\phi, \lambda) = \phi ’ \mu - \frac{1}{2} \alpha \phi ’ \Sigma \phi - \lambda \left( \mathbf{1}’ \phi - w_0 \right), $$ 和它的雅可比文字。 $ \phi $ 是
$$ \mathrm{D}_\phi L(\phi, \lambda) = \mu’ - \alpha \phi ’ \Sigma - \lambda \mathbf{1}’. $$ 一階條件要求雅可比等於零（在每個元素中）加上原始預算約束，它們一起（在轉置雅可比之後）產生線性方程組 $ (\phi,\lambda) $ :
$$ \begin{split} \Sigma \phi + \mathbf{1} \lambda &= \frac{1}{\alpha}\mu \ \mathbf{1}’ \phi &= w_0 \end{split} $$ 我們可以解決 $ \phi $ 作為乘數的函式 $ \lambda $ :
$$ \phi = \frac{1}{\alpha} \Sigma^{-1} \mu - \lambda \Sigma^{-1} \mathbf{1} $$ 將其代入預算約束和一些代數產生一個表達式 $ \lambda $ :
$$ \lambda = \frac{\frac{1}{\alpha}\mathbf{1}’ \Sigma^{-1} \mu - w_0}{\mathbf{1}’ \Sigma^{-1} \mathbf{1}}, $$ 並將其代入表達式 $ \phi $ 應該產生問題中給出的結果。