N期二項式資產定價模型中美國衍生證券最優行使時間定理的證明
至少有兩本教科書（Shreve’s Stochastic Calculus for Finance - I, theorem 4.4.5 或 Campolieti & Makarov’s Financial Mathematics, 命題 7.8）證明了最優運動定理，即停止時間 $ \tau^* = min {n; V_n = G_n} $ 最大化
$$ V_n = \max_{\tau \in S_n} \tilde{\mathrm{E}}\Big[\mathrm{I}{\tau \leq N}\frac{1}{(1+r)^{\tau-n}}G{\tau}\Big] \qquad (1) $$ 通過證明停止的程序 $ \frac{1}{(1+r)^{n \wedge \tau^}}V_{n \wedge \tau^} $ 是風險中性機率測度下的鞅。 但是有人怎麼能從這個事實中得出結論 $ \tau^* $ 實際上是最大化右邊 $ (1) $ ?
一年前，我無法理解以下內容。
First Shreve 定義 $ V_n $ 如下：
**定義 4.4.1。**對於每個 $ n, n = 0,1,\cdots, N $ ， 讓 $ G_n $ 是一個隨機變數，取決於第一個 $ n $ 拋硬幣。具有內在價值過程的美國衍生證券 $ G_n $ 是可以在任何時間之前（包括時間）執行的契約 $ N $ 並且，如果及時行使 $ n $ , 還清 $ G_n $ . 我們定義價格流程 $ V_n $ 美國風險中性定價公式
$$ V_n= \max_{\tau \in \mathcal{S}n} \widetilde{\mathbb{E}}n\Big[\mathbb{I}{{\tau \leq N}}\frac{G\tau}{(1+r)^{\tau-n}} \Big], : n = 0, 1, \cdots, N $$
那麼重要的性質 $ V_n $ （如上定義！）在
**定理 4.4.2。**定義 4.4.1 給出的美國衍生證券價格過程具有以下性質：
（一世） $ V_n \geq \max{G_n, 0} $ 對所有人 $ n $
(ii) 折扣過程 $ \frac{V_n}{(1+r)^n} $ 是超鞅
(iii) 如果 $ Y_n $ 是另一個滿足的過程 $ Y_n \geq \max{G_n, 0} $ 對所有人 $ n $ 並且為此 $ \frac{Y_n}{(1+r)^n} $ 那麼是超鞅 $ Y_n \geq V_n $ 對所有人 $ n $
我們總結性質（iii）這樣說 $ V_n $ 是滿足 (i) 和 (ii) 的最小過程
然後，在定理 4.4.3 Shereve重新定義 $ V_n $ 作為一個Snell 包絡過程（儘管 Shreve 沒有使用這個術語）：
**定理 4.4.3。**對於定義 4.4.1 給出的路徑相關衍生證券價格過程，我們有以下定價算法：
$ V_N(\omega_1 \cdots \omega_N) = \max{{G_N, 0}} $
$ V_n(\omega_1 \cdots \omega_n) = \max{ G_n(\omega_1 \cdots \omega_n), \frac{1}{1+r}[\tilde{p}V_{n+1}(\omega_1 \cdots \omega_nH) + \tilde{q}V_{n+1}(\omega_1 \cdots \omega_nT)] $
Shreve 證明了定理，表明重新定義的 $ V_n $ 滿足定理 4.4.2 的條件。並得出結論
$$ V_n = \max{ G_n, \frac{1}{1+r}[\tilde{p}V_{n+1} + \tilde{q}V_{n+1}]} = \max_{\tau \in \mathcal{S}n} \widetilde{\mathbb{E}}n\Big[\mathbb{I}{{\tau \leq N}}\frac{G\tau}{(1+r)^{\tau-n}} \Big] \tag{A}\label{A} $$ 從現在開始，Shreve 使用重新定義的 $ V_n $ . 最佳運動時間定義在
**定理 4.4.5。**停車時間
$$ \tau^* = \min{n; G_n = V_n} $$最大化 (4.4.1) 的右手邊時 $ n=0 $ ; IE$$ V_0 = \widetilde{\mathbb{E}}\Big[\mathbb{I}{{\tau^* \leq N}}\frac{G{\tau^}}{(1+r)^{\tau^}} \Big] $$
他證明了停止重新定義 $ V_n $ 是鞅：
$$ V_{n\wedge \tau^} = \mathbb{E}n\frac{V{n+1\wedge \tau^}}{1+r} \tag{B}\label{B} $$ 從 $ \eqref{A} $ 我們得出結論：
$$ V_0 = \max_{\tau \in \mathcal{S}0} \widetilde{\mathbb{E}}\Big[\mathbb{I}{{\tau \leq N}}\frac{G_{\tau}}{(1+r)^{\tau-n}} \Big] $$ 從 $ \eqref{B} $ 我們得出結論：
$$ V_0 = V_{0 \wedge \tau^} = \mathbb{E}\frac{V_{N\wedge \tau^}}{{1+r}^{N\wedge\tau^*}} $$ 所以關於 Shreve 證明的提示現在應該很清楚了。
對於最優運動定理的另一個證明和對該主題的總體更好解釋，我強烈推薦@Gordon 多次引用的Musiela & Rutkowski 的“金融建模中的馬丁格爾方法”。
我認為證明已經在 Shreve 定理 4.4.5 的證明末尾提供。具體來說，請注意，由於
$$ \begin{align*} \frac{1}{(1+r)^{n \wedge \tau^}}V_{n \wedge \tau^}. \end{align*} $$ 是鞅， $$ \begin{align*} \tilde{\mathbb{E}}\left(\frac{1}{(1+r)^{N \wedge \tau^}}V_{N \wedge \tau^}\right) &= V_0 = \max_{\tau \in S_0} \tilde{\mathbb{E}}\left(\mathbb{I}{{\tau \leq N}}\frac{1}{(1+r)^{\tau}}G{\tau}\right).\tag{1} \end{align*} $$ 另一方面， $$ \begin{align*} &\ \tilde{\mathbb{E}}\left(\frac{1}{(1+r)^{N \wedge \tau^}}V_{N \wedge \tau^}\right) \ =&\ \tilde{\mathbb{E}}\left(\mathbb{I}{{\tau^* \leq N}} \frac{1}{(1+r)^{\tau^*}}V{\tau^}\right) + \tilde{\mathbb{E}}\left(\mathbb{I}_{{\tau^ =\infty}} \frac{1}{(1+r)^N}V_N\right)\ =&\ \tilde{\mathbb{E}}\left(\mathbb{I}{{\tau^* \leq N}} \frac{1}{(1+r)^{\tau^*}}V{\tau^}\right),\tag{2} \end{align} $$ 一個兒子 $ (\tau^* =\infty) $ , $ V_N=0 $ . 結合 $ (1) $ 和 $ (2) $ , 我們得出結論 $$ \begin{align*} \tilde{\mathbb{E}}\left(\mathbb{I}{{\tau^* \leq N}} \frac{1}{(1+r)^{\tau^*}}V{\tau^}\right) = \max_{\tau \in S_0} \tilde{\mathbb{E}}\left(\mathbb{I}{{\tau \leq N}}\frac{1}{(1+r)^{\tau}}G{\tau}\right), \end{align} $$ 也就是說，最大值是在 $ \tau^* $ .