美式看跌期權的終止條件
在我最近讀到的一本書中，作者提到了終端條件：
$$ \mathop {\lim }\limits_{t \to T} V(S,t) = \max \left{ {X - S,0} \right} $$ 這是直覺的理解。
然後，作者定義：
$$ \tau \equiv T - t $$ 有了這個，上面的終端條件可以簡化為：
$$ \mathop {\lim }\limits_{\tau \to 0} V(S,\tau) = 0 $$ 這不是那麼直覺。在這種情況下，期權的價值怎麼可能等於零？
（注：在空格內）
$$ {\Sigma _1} = \left{ {(S,\tau )|B(\tau ) \le S < + \infty ,0 \le \tau \le T} \right} $$ 註釋：
$ X $ = 行使價
$ S $ = 標的股票價格
$ T $ = 到期時間
$ t $ = 到今天的時間
$ B(\tau) $ = 最佳運動邊界
我不認為這個邊界條件與最佳行使價有任何關係，因此它應該適用於歐式和美式期權。它只是一個終止條件，它允許我們以封閉形式重寫 PDE。
您在上面顯示的關係：
$ \mathop {\lim }\limits_{t \to T} V(S,t) = \max \left{ {X - S,0} \right} $
$ \to $
$ \mathop {\lim }\limits_{\tau \to 0} V(S,\tau) = 0 $
僅僅意味著期權的外在價值（即超過 $ X-S> 0, \forall S<X) $ 傾向於 $ 0 $ 作為 $ t \to T $ .
刪除“ $ max $ " 函式只是根據 Heaviside 函式對支付條件的重述。Heaviside 函式本質上等價於最大函式，只是它在以下邊界處強制執行 $ t=T $ :
$ {\displaystyle V(S,,\tau)=0\quad \forall ;;S<X} $ ,
儘管差異看起來很微妙，但它很重要，因為 $ V_t $ 在 S = 0 處不必是有限的，甚至不需要為此定義，這使我們能夠更容易地執行用（熱）擴散方程表示或有收益所需的變數的替換，該方程是布萊克-斯科爾斯模型。
我希望從這個解釋中可以更清楚地了解這個邊界條件。
$ T $ 是固定的 $ \tau \to 0 $ 當且僅當 $ t \to T $ . 因此，必須是這樣的
$$ \lim_{\tau \to 0} V(S,\tau) = \max { X-S,0 } $$ 然而，當 $ (S,\tau) \in \Sigma_1 $ ，最好不行使期權。這意味著作為 $ \tau \to 0 $ , 一定是這樣的 $ X \le S $ . 否則，你不會在 $ \Sigma_1 $ .