離散模型中的一價定律
以下問題假定您熟悉 Steven Roman 的“金融數學概論”，第 2 版，Springer 2012 的第 5 章中描述的離散模型。我不會在這篇文章中描述模型或相關的符號。
- 一價定律 (p. 132) 指出，在市場上沒有套利機會的情況下，
$$ \mathcal{V}_T(\Phi_1) = \mathcal{V}_T(\Phi_2) \implies \mathcal{V}_k(\Phi_1) = \mathcal{V}k(\Phi_2) $$ 一直以來 $ 0 \leq k \leq T $ 以及所有自籌資金的交易策略 $ \Phi_1 $ 和 $ \Phi_2 $ . 不幸的是，文本中沒有提供任何證據（事實上，該定律被表述為定義而不是定理）。為什麼這條法律成立？ 2. 此外，一價定律聲明之後的文本暗示，如果市場沒有套利機會，那麼，給定一個可實現的替代方案 $ X $ , 如果一個新資產 $ a^* $ 被引入市場並以這樣的方式定價 $ t_T $ 是 $ X $ 並且它的定價符合一價定律，即每 $ k \in {0, 1, \dots, T} $ , $ S{a^*, k} := \mathcal{V}_k(\Phi) $ ， 在哪裡 $ \Phi $ 是任何自籌資金的交易策略，使得 $ \mathcal{V}_T(\Phi) = X $ ，那麼由此產生的、擴展的市場仍然沒有套利機會。
為什麼會這樣？
(1) 獲得套利，低買高賣。
考慮以下策略：在 $ k $ , 在事件 $ V_k(\Phi_1) < V_k(\Phi_2) $ ， 買 $ \Phi_1 $ 並出售 $ \Phi_2 $ 以無風險利率投資差額。到期時，您的投資組合價值相當於您存入銀行的金額加上利息。
形式上，如果 $ V_t(\Phi_\alpha) = \sum_{i=0}^d \Phi^i_{\alpha,t} S^i_t $ 在哪裡 $ S^0_t = (1+r)^t $ 是無風險資產，那麼策略對應於
$$ V_t = \sum \delta^i_t S^i_t $$ 在哪裡 $ \delta^i_t = 0 $ 對於我和所有人 $ t<k $ ，那麼對於 $ t\geq k $ ， 和 $ i\neq 0 $ ,
$$ \delta^i_t = 1_{V_k(\Phi_1)<V_k(\Phi_1)}(\Phi^i_{1,t} - \Phi^i_{2,t}) $$ 投資於無風險資產的金額正是剩餘的，因此該策略是自籌資金的。你可以檢查一下 $$ \delta^0_t = 1_{V_k(\Phi_1)<V_k(\Phi_2)}\Big( (V_k(\Phi_2)-V_k(\Phi_1))\frac{S^0_t}{S^0_k} + (\Phi^0_{1,t} - \Phi^0_{2,t}) \Big) $$ 請注意，遵循此策略，您的投資組合滿足
- $ V_0 = 0 $ ,
- $ P(V_T \geq 0) = 1 $
- $ P(V_T > 0) \ge P(V_k(\Phi_1) < V_k(\Phi_2)) $ 因為每次投資組合 $ 1 $ 價值嚴格低於投資組合 $ 2 $ 你最終在銀行里有現金。
由於沒有套利，最後的機率必須為零： $ V_k(\Phi_1) \ge V_k(\Phi_2) $ 幾乎可以肯定。通過對稱性，反向不等式也是正確的，所以 $ V_k(\Phi_1) = V_k(\Phi_2) $ 幾乎可以肯定。
(2) 市場仍然沒有套利，因為你添加的資產是之前的線性組合。如果你有一個投資組合
$$ V_t = \sum_i \delta^i_t S^i_t + \delta_{a^,t}S_{a^,t} $$ 在擴展市場中創建套利，您可以分解 $ S_{a^,t} $ 進入其他資產，重寫 $$ V_t = \sum_i (\delta^i_t + \delta_{a^,t}\Phi^i_t) S^i_t $$ 這會給你在原始市場上的套利。