為什麼d和（噸）d和(噸)dz(t)^2 在極短的時間內收斂到 dt？
我很難理解George Pennacchi 教科書“資產定價”中的一章。在這裡，作者展示了維納過程的平方 $ [dz(t)]^2 $ 收斂到 $ dt $ 對於無限短的時間段。
根據 Itô-Integral 的定義 $ \int_0^T[dz(t)]^2 $ :
$$ \begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty}E_0[(\sum_{i=1}^n [\Delta z_i^2]-\int_0^T[dz(t)]^2)^2]=0 \end{equation} $$ 然後他說
$$ \begin{equation} E_0[(\sum_{i=1}^n [\Delta z_i^2] -T)^2]=2T\Delta t \end{equation} $$，這是我無法推導出的方程式。這個表達式的極限為 $ \Delta t \rightarrow 0 $ 是 0，這是顯而易見的。但我也無法理解的是，為什麼這個結果連同伊藤積分的定義最終表明$$ \begin{equation} \int_0^T[dz(t)]^2=\int_0^T dt \end{equation} $$ 有人可以幫助我理解這一重要結果嗎？
當心，前面的過於簡單化了！（這意味著以下內容在技術上是不正確的，實際上它是錯誤的！但是：它給出了一個直覺！）
如果你擲硬幣併計算正面為 $ -1 $ 和尾巴作為 $ 1 $ 你得到一個意思 $ 0 $ 變異數為 $ 1 $ . 當您將多次拋硬幣相加時，即創建一個隨機過程 $ dz(t) $ ，均值保持不變，即 $ 0 $ -> 這個過程是鞅。
現在你將這個過程平方：平均而言，你會得到 $ \frac{(-1)^2+1^2}{2}=1 $ ，這意味著您的平均值每個時間步長一個單位 -> $ [dz(t)]^2=dt $
所以在這裡你會看到當你平方它時，鞅如何變成一個平均隨時間增長的過程 - 或者更一般地說：對稱過程如何通過非線性變換變得不對稱。
以下是一個非常好的闡述，以非常直覺的方式展示了這些想法：
附錄
要解決為什麼即使在連續情況下這種離散直覺也可能有意義的問題，您必須知道上述隨機過程會產生二叉樹。顧名思義，這棵樹的基礎是二項分佈。當您同時減小和增加時間步數時，此二項式分佈（在某些技術條件下）變為正態分佈。這是de Moivre-Laplace 定理的結果。相應的連續隨機過程是維納過程（也常稱為標準布朗運動），它使圓閉合。