Banerjee 等人中對擴散中心性的定義。(2019)
我正在閱讀 Banerjee、Chandrashekhar、Duflo 和 Jackson 撰寫的“使用八卦傳播資訊：來自兩個隨機對照試驗的理論和證據”，他們在其中討論了八卦在傳播有關政策/商業報價資訊方面的功效。
在本文的第 21 頁，他們介紹了網路參數“擴散中心性”的通用版本，同一作者在 2013 年的一篇論文中已經定義了該參數。
如果[wMath Processing Error]是社交網路的有向加權鄰接矩陣，然後他們定義了一個“聽力矩陣”[wMath Processing Error]和持續時間 $ w $ $ w $ $ T \in N $ 作為：
$$ H(w, T) = \sum_{t=1}^T (w)^t $$ 這 $ ij $ -第一個條目[HMath Processing Error], $ H $ $ H(w, T)_{ij} $ , 是預期的次數，在[TMath Processing Error]期間，即[jMath Processing Error]聽說一條資訊來自[iMath Processing Error]. $ T $ $ j $ $ i $
則擴散中心性定義為：
$$ DC(w, T) = H(w, T) \cdot 1 $$ 報紙上說，“ $ DC(w, T)_i $ 是某條資訊源自的預期總次數[iMath Processing Error]任何社團成員在一次會議期間聽到[TMath Processing Error]- 週期時間間隔”。 $ i $ $ T $
我對網路經濟學不是很熟悉。我想了解為什麼 $ H $ 和 $ DC $ 匹配他們的口頭描述，即為什麼 $ ij $ -第一個條目[HMath Processing Error]預期的次數[jMath Processing Error]聽到什麼[iMath Processing Error]同樣對於 $ H $ $ j $ $ i $ $ DC $ . 直接寫在答案中的證明，或參考任何好的材料來研究這將有所幫助。
讓我用大寫字母[WMath Processing Error]而不是小寫字母[wMath Processing Error]（作為[WMath Processing Error]實際上是一個矩陣）。 $ W $ $ w $ $ W $
所以讓[WMath Processing Error]是包含在行中的矩陣[iMath Processing Error]和列 $ W $ $ i $ $ j $ 的機率[jMath Processing Error]聽說[iMath Processing Error]. 然後平均資訊條數[jMath Processing Error]從[iMath Processing Error]在一個時期內由 $ j $ $ i $ $ j $ $ i $ $ W(i,j) $ .
平均資訊數[jMath Processing Error]從[iMath Processing Error]旅行需要 2 個時間段的資訊是首先從[iMath Processing Error]對一些中間人[kMath Processing Error]然後從[kMath Processing Error]到[jMath Processing Error], 通過路徑 $ j $ $ i $ $ i $ $ k $ $ k $ $ j $ $ i \to k \to j $ . 通過這條路徑傳輸的資訊量為 $ W(i,k) \cdot W(k,j) $ . 要看到這一點，請注意 $ W(i,k) $ 是發送到的資訊量 $ k $ 而這其中的一小部分 $ W(k,j) $ 被轉發到 $ j $ . 現在，這必須對所有中間節點求和 $ k $ （即所有長度為 2 的路徑）。所以我們得到：
$$ \sum_{k} W(i,k) \cdot W(k,j) = (W \times W){i,j} = (W^2){i,j} $$ 這裡 $ \times $ 是矩陣乘法。 現在讓我們看看需要 3 個句點的資訊。這是來自的資訊 $ i $ 對一些中間人[kMath Processing Error]然後從[kMath Processing Error]對一些中間人 $ k $ $ k $ [Math Processing Error] $ \ell $ 最後到[Math Processing Error] $ j $ ，所以路徑 $ i \to k \to \ell \to j $ . 該路徑的資訊量為 $ W(i,k) \cdot W(k,\ell) \cdot W(\ell, j) $ . 如果我們對所有這些長度為 3 的路徑求和，我們得到：
$$ \sum_k \sum_\ell W(i,k) \cdot W(k,\ell) \cdot W(\ell, j) = (W \times W \times W){i,j} = (W^3){i,j}. $$ 如果我們繼續，那麼我們可以將其推廣到任何長度的路徑 $ T $ . 從發送的資訊 $ i $ 到 $ j $ 通過所有這些路徑由下式給出： $$ (W \times W \times \ldots W){i,j} = (W^T){i,j}. $$ 現在，如果資訊來自[Math Processing Error] $ i $ 到[Math Processing Error] $ j $ 要麼需要 1 個週期，2 個週期，3 個週期，…[Math Processing Error] $ T $ 旅行的時間。因此，計算預期的總資訊量[Math Processing Error] $ j $ 從接收[Math Processing Error] $ i $ 在[Math Processing Error] $ T $ 週期由所有這些週期的總和給出：
$$ H(W, T) = \sum_{t = 1}^T (W^t){i,j}. $$ 現在發送的資訊總量[Math Processing Error] $ i $ 並且被某人聽到可以通過對所有接收者的總和來獲得[Math Processing Error] $ j $ . [數學處理錯誤]$$ DC(W,T) = \sum{j} (H(W,T)){i,j} = (H(W,T)\times 1){i,j} $$ 這相當於將矩陣的行加起來 $ H(W,T) $ .
一個例子
讓我們以三個人為例 $ 1,2 $ 和[數學處理錯誤] $ 3 $ [W數學處理錯誤]. 假使，假設 $ W $ 是（誰）給的：
[數學處理錯誤]$$ W = \begin{bmatrix} 0 & 0.3 & 0.2\ 0.2 & 0 & 0.6\ 0 & 0.4 & 0\end{bmatrix} $$ 這意味著（例如）2 在一個週期內從 1 聽到的機率等於 0.3。 然後
[數學處理錯誤]$$ W^2 = \begin{bmatrix} 0.06 & 0.08 & 0.18\ 0 & 0.3 & 0.04\ 0.08 & 0 & 0.24\end{bmatrix} $$ 這裡，例如，2 在兩個期間從 1 收到的金額是 $ 0.08 = 0.2 \times 0.4 $ 接下來，乘法[Math Processing Error] $ W^2 $ 再一次[Math Processing Error] $ W $ 給出：
[Math Processing Error]$$ W^3 = \begin{bmatrix} 0.016 & 0.09 & 0.06\ 0.06 & 0.016 & 0.18\ 0 & 0.12 & 0.016\end{bmatrix} $$ 然後： $$ H(W, 3) = W + W^2 + W^3 = \begin{bmatrix} 0.076 & 0.47 & 0.44\ 0.26 & 0.316 & 0.82\ 0.08 & 0.52 & 0.256\end{bmatrix} $$ 所以在三個時期 $ 2 $ 平均收到[Math Processing Error] $ 0.47 $ 來自的資訊[Math Processing Error] $ 1 $ 發送的總資訊[Math Processing Error] $ 1 $ 對某人的計算是通過對行中的元素求和來計算的[Math Processing Error] $ 1 $ ， 這使：
$$ 0.076 + 0.47 + 0.44 = 0.986 $$ 一般來說： $$ DC(W, 3) = \begin{bmatrix} 0.986\1.396\0.856\end{bmatrix} $$