Heston模型下期權的Delta
我正在研究赫斯頓模型。我沒有時間閱讀計算期權價格的公式的詳細推導。公式是根據這個執行緒給出的：赫斯頓模型期權價格公式
我想計算在赫斯頓模型下定價的期權的增量：通過查看這個表達式，閱讀連結上的執行緒後，似乎 $ S_t $ 不參與 $ P_1 $ 和 $ P_2 $ $$ \begin{align} C(t,,{{S}{t}},{{v}{t}},K,T)={{S}{t}}{{P}{1}}-K,{{e}^{-r\tau }}{{P}_{2}} \end{align} $$ 這樣我就可以取直接導數：
$$ \begin{align} \frac{\partial C(t,,{{S}{t}},{{v}{t}},K,T)}{\partial S_t}=\frac{\partial{{S}{t}}{{P}{1}}-K,{{e}^{-r\tau }}{{P}_{2}}}{\partial S_t}=P_1 \end{align} $$
不知道是不是這麼簡單。我讀到我應該使用一些“同質性屬性”，但我不知道那是什麼意思。
問題：
有人可以幫我計算赫斯頓模型下期權價格的增量嗎？
壞消息：你的計算不太正確
正如你所說，歐式看漲期權的初始價格是 $$ C(S_0;K,T)= S_0e^{-qT}\Pi_1-Ke^{-rT}\Pi_2. \tag{$\star$} $$ 但是，運動機率 $ \Pi_1 $ 和 $ \Pi_2 $ 取決於股票價格 $ S_0 $ 也！因此，您需要產品規則和鍊式規則來區分期權價格相對於 $ S_0 $ . 同樣的問題也適用於 Black-Scholes 模型中 delta 的計算。這使得計算有點冗長，請參見此處。
注意公式 $ (\star $ ) 適用於許多模型，而不僅僅是 Black-Scholes 模型和 Heston 模型。該公式同樣適用於 CEV 模型、Merton 和 Kou 的跳躍擴散模型、純跳躍過程（例如變異數 gamma 模型）等。它是計算方法變化的結果。
好消息：期權價格與一階同質
假設股票價格被建模為 $ S_t=S_0e^{X_t} $ ， 在哪裡 $ X_t $ 是一個標準化為的隨機過程 $ X_0=0 $ 這不取決於 $ S_0 $ . 因此，今天的股票價格翻倍也使未來的股票價格翻了一番。雖然不是每個模型都滿足這個屬性，但很多都滿足（例如我上面提到的所有模型）。回想一下，風險中性定價表明 $$ \begin{align*} C(S_0;K,T)=e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}_0\left[\max{S_T-K,0}\right]. \end{align*} $$ 一階同質性僅僅意味著對於任何 $ \lambda>0 $ , $$ \begin{align*} C(\lambda S_0;\lambda K,T)=e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}_0\left[\max{\lambda S_T-\lambda K,0}\right]=\lambda C(S_0;K,T). \end{align*} $$ 區分雙方 $ \lambda $ （使用多元鍊式法則）給出 $$ S_0\frac{\partial C}{\partial S_0}+K\frac{\partial C}{\partial K}=C. \tag{$\star\star$} $$ 比較方程中的係數 ( $ \star $ ） 和 $ (\star\star $ )，我們得到 $$ \begin{align*} \frac{\partial C}{\partial S_0} &= e^{-qT}\Pi_1>0,\ \frac{\partial C}{\partial K} &= -e^{-rT}\Pi_2<0. \tag{$\star\star\star$} \end{align*} $$
一些筆記
因為 $ \Pi_1 $ 和 $ \Pi_2 $ 是機率並且介於 0 和 1 之間，我們知道看漲期權的 delta 也是如此（忽略股息收益率）。您可以使用 put-call-parity 獲得類似的歐式看跌期權結果。上述計算與歐拉關於齊次函式的定理密切相關。如果你計算 $ \Pi_1 $ 作為對數股票價格特徵函式的不恰當積分， $ \varphi $ ，您可以通過顯式計算 delta $ \frac{\partial \varphi(u)}{\partial S_0}=\frac{iu}{S_0}\varphi(u) $ ，這適用於同質股票價格模型。
方程（ $ \star\star\star) $ 連結風險中性分佈函式， $ \Pi_2 $ , 為看漲期權價格的（可觀察的）導數。關於執行價格再次區分這個等式 $ K $ 產生了Breeden 和 Litzenberger (1978)的著名結果。