赫斯頓

Heston 模型 - PDE 和 Monte Carlo

  • July 31, 2020

為什麼赫斯頓模型的偏微分方程中有一個“波動風險的市場價格”變數,而蒙地卡羅模擬中沒有這個變數?

我們是否從兩種方法中獲得相同的價格?

一種是先確定 SDE波動風險的市場價格,然後隱含定價 PDE。這樣 SDE 和 PDE 是一致的。

一個從 Heston SDE 開始: $$ dS/S = \mu dt + \sqrt{v} dW_1 $$ $$ dv = \kappa(\theta - v)dt + \eta \sqrt{v}dW_2 $$ 和 $ W =(W_1,W_2)^T $ 相關布朗運動, $ dW_1dW_2 = \rho dt $ .

由於我們有兩個布朗驅動因素,但只有一個風險資產,無套利漂移條件只能固定風險過程的市場價格組成部分之一

$$ \lambda =(\lambda_1, \lambda_2)^T. $$

也就是說,我們有 $$ \lambda_1 = \frac{\mu-r}{\sqrt{v_t}}, $$

儘管 $ \lambda_2 $ (波動風險的市場價格)未指定。

這讓我們可以考慮 $ \lambda_2 $ -依賴EMM(等效鞅測度)在哪個過程下 $ W^\lambda =(W_1^\lambda, W_2^\lambda)^T $ , 被定義為

$$ dW^\lambda = dW - \left(\frac{\mu-r}{\sqrt{v_t}},\lambda_2\right)^T dt, $$

是布朗運動。

原始的 Heston SDE 轉換為:

$$ dS/S = r dt + \sqrt{v} dW_1^\lambda $$ $$ dv = (\kappa(\theta - v)-\eta \sqrt{v}\lambda_2) dt + \eta \sqrt{v}dW_2^\lambda $$

這不是所有人的赫斯頓類型 $ \lambda_2 $ 選擇。

我們選擇 $ \lambda_2 $ 這樣 $$ \kappa(\theta - v)-\eta \sqrt{v}\lambda_2 $$ 可以改寫為

$$ \hat{\kappa}(\hat{\theta} - v) $$

對於一些 $ \hat{\kappa} $ 和 $ \hat{\theta} $ (例如, $ \lambda_2=0 $ 或者 $ \lambda_2 = \sqrt{v_t} $ )。這使得變異數再次成為 CIR 動態,並且完整的 SDE 再次屬於 Heston 類型。

引用自:https://quant.stackexchange.com/questions/57040